(本题满分 11 分) 设二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3})^{2} + (b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3})^{2}$ ，记 $$ \boldsymbol {\alpha} = \left( \begin{array}{c} a _ {1} \\ a _ {2} \\ a _ {3} \end{array} \right), \qquad \boldsymbol {\beta} = \left( \begin{array}{c} b _ {1} \\ b _ {2} \\ b _ {3} \end{array} \right). $$ (I) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\alpha \alpha^{\mathrm{T}} + \beta \beta^{\mathrm{T}}$ ; (II) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ .