(本题满分11分) 设向量组 $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基， $\pmb {\beta}_1 = 2\pmb {\alpha}_1 + 2k\pmb {\alpha}_3$ ， $\pmb {\beta}_2 = 2\pmb {\alpha}_2$ ， $\pmb {\beta}_3 = \pmb {\alpha}_1 + (k + 1)\pmb {\alpha}_3$ (I) 证明向量组 $\pmb{\beta}_{1}, \pmb{\beta}_{2}, \pmb{\beta}_{3}$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基； （Ⅱ）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\pmb{\xi}$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 与基 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 下的坐标相同，并求所有的 $\pmb{\xi}$