第3题
设函数 $f ( x )$ 在区间 $\left( 0 , + \infty \right)$ 上可导，则
A．当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x )$ 存在时， $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ^ { \prime } ( x )$ 存在．
B．当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ^ { \prime } ( x )$ 存在时， $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x )$ 存在．
C．当 lim $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f { \bigl ( } t { \bigr ) } \mathrm { d } t } { x } }$ 0 dx f t t 存在时， lim f x 存在． $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x )$
D．当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x )$ 存在时， $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { x } }$ 存在．
答案
D
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
A错误，反例：
$f ( x ) = { \frac { \sin x ^ { 2 } } { x } } , \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x ) = 0 , { \mathrm { ~ } } { \mathrm { / } } \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { 2 x ^ { 2 } \cos x ^ { 2 } - \sin x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } ,$ $f ( x ) = { \frac { \sin x ^ { 2 } } { x } } , \operatorname* { l i m } _ { x + \infty } f ( x ) = 0$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { 2 x ^ { 2 } \cos x ^ { 2 } - \sin x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } }$ 极限不存在.
B错误，反例： $f ( x ) = { \sqrt { x } } , f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { x } } } } , \operatorname* { l i m } _ { x + \infty } f ^ { \prime } ( x ) = 0 ,$ , 极限 存在 ，但 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x )$ 极限不存在.
2
建立方程或引用定理
▼
C错误，反例:
$f ( x ) = \cos x .$ 则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \sin x } { x } }$ 存在，但 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \cos x$ 不存在.
D正确，用 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { x } } { = } \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { f ( x ) } { 1 } } { = } \mathrm { A }$ ，故 选 $\mathrm { D }$ .
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📸 点击此处焦点后，直接粘贴截图（Ctrl+V / Cmd+V）