第4题
设函数 $f ( x , y )$ 连续，则 $\int _ { - 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } x \int _ { 4 - x ^ { 2 } } ^ { 4 } f \big ( x , y \big ) \mathrm { d } y =$
$\int _ { 0 } ^ { 4 } \biggl [ \int _ { - 2 } ^ { - \sqrt { 4 - y } } f \left( x , y \right) \mathrm { d } x + \int _ { \sqrt { 4 - y } } ^ { 2 } f \left( x , y \right) \mathrm { d } x \biggr ] \mathrm { d } y \ .$
$\int _ { 0 } ^ { 4 } \biggl [ \int _ { - 2 } ^ { \sqrt { 4 - y } } f \left( x , y \right) \mathrm { d } x + \int _ { \sqrt { 4 - y } } ^ { 2 } f \left( x , y \right) \mathrm { d } x \biggr ] \mathrm { d } y \ .$
C． 4 4 40 2 2, d , d dy yf x y x f x y x y ．
D． 4 20 42 d , dyy f x y x ．
答案
A
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
由题易知，此二重积分积分区域为
$\mathrm { D } = \left\{ ( x , y ) { \big | } 4 - x ^ { 2 } \leq y \leq 4 , - 2 \leq x \leq 2 \right\}$ ，对应图像为上图所示。
记 $\mathrm D _ { 1 } = \Big \{ ( x , y ) \Big | 4 - x ^ { 2 } \leq y \leq 4 , - 2 \leq x \leq 0 \Big \} , \mathrm D _ { 2 } = \Big \{ ( x , y ) \Big | 4 - x ^ { 2 } \leq y \leq 4 , 0 \leq x \leq 2 \Big \} \ \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ o ~ r ~ } \qquad \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ }$ ${ \mathrm { D } } _ { 2 } = \left\{ ( x , y ) { \left| 4 - x ^ { 2 } \leq y \leq 4 , 0 \leq x \leq 2 \right. } \right\}$ ， 且
${ \mathrm { I } } { = } \int _ { - 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } x \int _ { 4 - x ^ { 2 } } ^ { 4 } f \left( x , y \right) \mathrm { d } y \ , \mathbb { M } { \mathrm { I } } = \int _ { D _ { 1 } } ^ { } f \left( x , y \right) \mathrm { d } \sigma + \int _ { D _ { 2 } } ^ { } f \left( x , y \right) \mathrm { d } \sigma$ $\mathbf { \Pi } [ = \int \intop _ { D _ { 1 } } f { \big ( } x , y { \big ) } \mathrm { d } \sigma + \intop _ { D _ { 2 } } f \left( x , y \right) \mathrm { d } \sigma$ ，交换积分次序得
2
建立方程或引用定理
▼
$$
\begin{array}{l} \mathrm {I} = \int_ {0} ^ {4} \mathrm {d} y \int_ {- 2} ^ {- \sqrt {4 - y}} f (x, y) \mathrm {d} x + \int_ {0} ^ {4} \mathrm {d} y \int_ {\sqrt {4 - y}} ^ {2} f (x, y) \mathrm {d} x \\ = \int_ {0} ^ {4} \left[ \int_ {- 2} ^ {- \sqrt {4 - y}} f (x, y) d x + \int_ {\sqrt {4 - y}} ^ {2} f (x, y) d x \right] d y \\ \end{array}
$$
故 A 正确。
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📸 点击此处焦点后，直接粘贴截图（Ctrl+V / Cmd+V）