第5题
二次型 $f { \left( x _ { _ { 1 } } , x _ { _ { 2 } } , x _ { _ { 3 } } \right) } = x _ { _ { 1 } } ^ { 2 } + 2 x _ { _ { 1 } } x _ { _ { 2 } } + 2 x _ { _ { 1 } } x _ { _ { 3 } }$ 的正 惯性 指数
A．0．
B．1
C．2
D．3．
答案
B
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
$$
A = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)
$$
2
建立方程或引用定理
▼
$$
\left(\lambda E - A\right) = \left(\begin{array}{c c c}\lambda - 1&- 1&- 1\\- 1&\lambda&0\\- 1&0&\lambda\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{c c c}\lambda - 1&- 1&- 1\\0&\lambda&- \lambda\\- 1&0&\lambda\end{array}\right)\rightarrow \lambda \left(\begin{array}{c c c}\lambda - 1&- 1&- 1\\0&1&- 1\\- 1&0&\lambda\end{array}\right)
$$
3
代入计算或演绎推导
▼
$$
\begin{array}{l} = \lambda [ \lambda (\lambda - 1) - 1 - 1 ] \\ = \lambda (\lambda^ {2} - \lambda - 2) \\ = \lambda (\lambda - 2) (\lambda + 1) \\ \end{array}
$$
解得
4
检验结果或讨论其他情况
▼
$$
\lambda_ {1} = 0, \lambda_ {2} = 2, \lambda_ {3} = - 1
$$
故正惯性指数为 1，选 B.
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