记 $A = \left( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } \right)$ ，由 $\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 }$ 线性无关， $\mathcal { \alpha } _ { 1 } , \mathcal { \alpha } _ { 2 } , \mathcal { \alpha } _ { 3 }$ 线性相关，可得 $r \left( A \right) = 2$ 。记$\overline { { A } } = \left( A \left| \alpha _ { 4 } \right. \right) = \left( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } \right)$ ，再由 $\alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } = 0$ ，则 $r \left( { \overline { { A } } } \right) = 2$ 。于是 $A x = \alpha _ { 4 }$ 有无穷多解。则 $x \alpha _ { 1 } + y \alpha _ { 2 } + z \alpha _ { 3 } = \alpha _ { 4 }$ 等价于 $\left( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } \right) \cdot \left( x , y , z \right) ^ { \mathrm { T } } = \alpha _ { 4 }$ ，即 $A \cdot \left( x , y , z \right) ^ { \mathrm { T } } = \alpha _ { 4 }$ 。若过原点，则 $\alpha _ { 4 } = 0$ 与 $\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 }$ 线性无关矛盾，故不过原点。

$x \alpha _ { 1 } + y \alpha _ { 2 } + z \alpha _ { 3 } = \alpha _ { 4 } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { c } { { a _ { 1 1 } x + a _ { 1 2 } y + a _ { 1 3 } z = a _ { 1 4 } } } \\ { { a _ { 2 1 } x + a _ { 2 2 } y + a _ { 2 3 } z = a _ { 2 4 } } } \\ { { \ldots } } \\ { { a _ { n 1 } x + a _ { n 2 } y + a _ { n 3 } z = a _ { n 4 } } } \end{array} \right.$ 21 22 23 24 a x a y a z a     ，由上述分析可知 r  A  r  A   2 ，故 $r \left( A \right) = r \left( { \overline { { A } } } \right) = 2$ 两平面交于一条直线，且不过原点。故选 $\mathrm { D }$ 。