第8题
设二维随机变量 $( X , Y )$ 服从正态分布 $N \big ( 0 , 0 ; 1 , 1 ; \rho \big )$ ，其中 $\rho \in \left( { - 1 , 1 } \right)$ .若 $^ { a , b }$ 为满足$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1$ 的任意实数，则 $D \big ( a X + b Y \big )$ 的最大值为
A．1．
B．2
C． $1 + | \rho |$
D． $1 + \rho ^ { 2 }$
答案
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
$$
\begin{array}{l} D (a X + b Y) = a ^ {2} D X + b ^ {2} D Y + 2 a b \rho \cdot 1 \cdot 1 \\ = a ^ {2} + b ^ {2} + 2 a b \rho = 1 + 2 a b \rho = 1 + 2 a \sqrt {1 - a ^ {2}} \rho = f (a) \\ \end{array}
$$
2
建立方程或引用定理
▼
$$
f ^ {\prime} (a) = \rho \left(2 \sqrt {1 - a ^ {2}} + 2 a \cdot \frac {- a}{\sqrt {1 - a ^ {2}}}\right) = 2 \rho \left(\sqrt {1 - a ^ {2}} - \frac {a ^ {2}}{\sqrt {1 - a ^ {2}}}\right) = 0
$$
即 $2 \rho \cdot \frac { 1 - a ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } = 0$ ， $2 a ^ { 2 } = 1 \Rightarrow a ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } , b ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 }$ 2, b ， 于 是 $a = \pm { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } , b = \pm { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } }$ , b 所 以 最 大值为 $1 + | \rho |$ ，故选 C。
暂无答案。
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