第13题
已知函数 $u ( x , y , z ) = x y ^ { 2 } z ^ { 3 }$ ,向量 $\pmb { n = ( 2 , 2 , - 1 ) }$ , 则 (1,1,1)n $\left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \sigma } \pmb { n } } \right| _ { ( 1 , 1 , 1 ) } = \_ \qquad .$
答案
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📋 解题步骤
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分析题意，确定思路
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由题易知， ${ \frac { \partial u } { \partial x } } = y ^ { 2 } z ^ { 3 } , { \frac { \partial u } { \partial y } } = 2 x y z ^ { 3 } , { \frac { \partial u } { \partial z } } = 3 x y ^ { 2 } z ^ { 2 }$ =1,²7
则在 $x = 1 , y = 1$ , $z = 1$ 处有 $\left( \frac { \partial u } { \partial x } , \frac { \partial u } { \partial y } , \frac { \partial u } { \partial z } \right) = ( 1 , 2 , 3 )$
2
建立方程或引用定理
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对于向量 $\vec { n } = ( 2 , 2 , - 1 )$ ，归一化可得 ${ \vec { n } } _ { 0 } = \left( { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } , - { \frac { 1 } { 3 } } \right)$
故 $ \stackrel { \cdot } { \underset { \{ \frac { \partial u } { \partial \tilde { n } } | _ { ( 1 , 1 , 1 ) } } } { \chi } = ( \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \alpha } x } , \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \alpha } y } , \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \alpha } z } ) \cdot \vec { n } _ { 0 } = ( 1 , 2 , 3 ) \cdot ( \frac { 2 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 3 } ) = 1 \cdot \frac { 2 } { 3 } + 2 \cdot \frac { 2 } { 3 } + 3 \cdot ( - \frac { 1 } { 3 } ) = 1$
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