第2题
一口袋中有红、白、蓝球各$3$个，现从袋中任取$2$个，用$X$表示取到的白球的个数，求$X$的概率分布。
答案
$P\{X=k\}=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{k}\mathrm{C}_{6}^{2-k}}{\mathrm{C}_{9}^{2}},\ k=0,1,2$；分布表见上。
📖 前置知识梳理
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本题是古典概型与离散型随机变量概率分布的综合题。解题关键是正确分类：将 9 个球分为白球（3 个）和非白球（6 个）两类。$X$ 的可能取值由取球个数决定（最多取 2 个，所以白球个数最多为 2）。用组合数计算各情况的概率，分母为从 9 个球中任取 2 个的总数 $C_9^2$。
📋 解题步骤
1
确定总体与可能取值
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袋中有红球$3$个、白球$3$个、蓝球$3$个，共$9$个球。从中任取$2$个，$X$表示取到的白球个数，则$X$的可能取值为$0,1,2$。
2
计算P{X=0}
▼
$P\{X=0\}=\dfrac{\mathrm{C}_{6}^{2}}{\mathrm{C}_{9}^{2}}=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}$（从$6$个非白球中取$2$个）。
3
计算P{X=1}
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$P\{X=1\}=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{1}\cdot\mathrm{C}_{6}^{1}}{\mathrm{C}_{9}^{2}}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$（从$3$个白球中取$1$个，从$6$个非白球中取$1$个）。
4
计算P{X=2}
▼
$P\{X=2\}=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{9}^{2}}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$（从$3$个白球中取$2$个）。
5
列出分布表
▼
$X$的概率分布（分布律）为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{5}{12}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{12}$ |
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\dfrac{5}{12}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{12}$ |
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