第3题
假设某种元件的使用寿命$X$（单位：小时）具有如下概率密度：
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1000}{x^{2}},&x>1000,\\0,&x\leqslant1000.\end{cases}$$
\(1\) 求元件的使用寿命在$1500$小时以上的概率；
\(2\) 从一大批的该种元件中任取$5$个，其中使用寿命在$1500$小时以上的元件数记为$Y$，求$Y$的分布律；
\(3\) 求所取的$5$个元件中至少有$2$个寿命在$1500$小时以上的概率。
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1000}{x^{2}},&x>1000,\\0,&x\leqslant1000.\end{cases}$$
\(1\) 求元件的使用寿命在$1500$小时以上的概率；
\(2\) 从一大批的该种元件中任取$5$个，其中使用寿命在$1500$小时以上的元件数记为$Y$，求$Y$的分布律；
\(3\) 求所取的$5$个元件中至少有$2$个寿命在$1500$小时以上的概率。
答案
\(1\) $\dfrac{2}{3}$；\(2\) $Y\sim B\left(5,\dfrac{2}{3}\right)$，$P\{Y=k\}=\mathrm{C}_{5}^{k}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-k},\ k=0,1,2,3,4,5$；\(3\) $\dfrac{232}{243}$
📖 前置知识梳理
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本题综合考查连续型随机变量的概率计算和二项分布的应用。第(1)问通过积分计算连续型随机变量在某区间的概率。第(2)问的关键是识别出 $Y$ 服从二项分布：因为是从一大批元件中任取，可视为有放回抽样，各元件独立，且只有'寿命在 1500 小时以上'和'寿命在 1500 小时以下'两种结果。第(3)问计算'至少'型概率时，利用对立事件 $P\{Y \geq 2\} = 1 - P\{Y=0\} - P\{Y=1\}$ 可以简化计算。
📋 解题步骤
1
求P{X>1500}
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$P\{X>1500\}=\displaystyle\int_{1500}^{+\infty}\frac{1000}{x^{2}}\,dx=-\frac{1000}{x}\bigg|_{1500}^{+\infty}=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1000}{x}\right)-\left(-\frac{1000}{1500}\right)=\frac{2}{3}$。
2
求Y的分布律
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由题意知$Y\sim B\left(5,\dfrac{2}{3}\right)$，即$Y$服从参数为$n=5$，$p=\dfrac{2}{3}$的二项分布，其分布律为
$$P\{Y=k\}=\mathrm{C}_{5}^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{5-k},\quad k=0,1,2,3,4,5.$$
$$P\{Y=k\}=\mathrm{C}_{5}^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{5-k},\quad k=0,1,2,3,4,5.$$
3
求P{Y≥2}
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$P\{Y\geqslant 2\}=1-P\{Y=0\}-P\{Y=1\}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{5}-\mathrm{C}_{5}^{1}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=1-\frac{1}{243}-\frac{10}{243}=\frac{232}{243}$。
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