考研 期末复习 课程 随机一题
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第3题
已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=0$，$P(AC)=P(BC)=\frac{1}{6}$，则 $A,B,C$ 全不发生的概率为 ______。
答案
$\dfrac{7}{12}$
德摩根定律 对立事件 三事件加法公式 概率单调性
📖 前置知识梳理 ▼
本题核心是利用德摩根定律与三事件加法公式求“全不发生”的概率。关键步骤：(1) $A,B,C$ 全不发生表示为 $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$，由德摩根定律等于 $\overline{A\cup B\cup C}$；(2) 用对立事件转化：$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=1-P(A\cup B\cup C)$；(3) 三事件加法公式：$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$；(4) 由 $ABC\subset AB$ 且 $P(AB)=0$，得 $P(ABC)=0$。注意：不要漏掉最后一项 $P(ABC)$，也不要把 $P(AB)=0$ 误解为 $A,B$ 互斥后忽略其他交集。

📋 解题步骤

1
事件转化
▼
将“$A,B,C$全不发生”表示为$\bar{A}\bar{B}\bar{C}$，由德摩根定律知$\bar{A}\bar{B}\bar{C} = \overline{A\cup B\cup C}$。
2
利用对立事件
▼
$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C}) = P(\overline{A\cup B\cup C}) = 1 - P(A\cup B\cup C)$。
3
三事件加法公式
▼
$$P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$$
4
代入数值并确定$P(ABC)$
▼
代入已知得$1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-0-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+P(ABC)]=\frac{7}{12}-P(ABC)$。由$ABC \subset AB$且$P(AB)=0$，故$P(ABC)=0$。
5
结果
▼
$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=\frac{7}{12}$
倍速：
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