第3题
已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=0$，$P(AC)=P(BC)=\frac{1}{6}$，则 $A,B,C$ 全不发生的概率为 ______。
答案
$\dfrac{7}{12}$
📋 解题步骤
1
事件转化
▼
将“$A,B,C$全不发生”表示为$\bar{A}\bar{B}\bar{C}}$，由德摩根定律知$\bar{A}\bar{B}\bar{C}} = \overline{A\cup B\cup C}$。
2
利用对立事件
▼
$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C}}) = P(\overline{A\cup B\cup C}) = 1 - P(A\cup B\cup C)$。
3
三事件加法公式
▼
$$P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$$
4
代入数值并确定$P(ABC)$
▼
代入已知得$1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-0-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+P(ABC)]=\frac{7}{12}-P(ABC)$。由$ABC \subset AB$且$P(AB)=0$，故$P(ABC)=0$。
5
结果
▼
$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C}})=\frac{7}{12}$
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