第4题
设随机变量$X$在$[2,5]$上服从均匀分布，现在对$X$进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于$3$的概率。
答案
$\dfrac{20}{27}$
📖 前置知识梳理
▼
本题核心思路是将'至少有两次观测值大于3'转化为二项分布问题。首先利用均匀分布计算单次观测值大于3的概率 $p=\frac{2}{3}$，然后将三次独立观察视为 $n=3$ 重伯努利试验，成功概率为 $p$，于是成功次数 $Y$ 服从二项分布 $B(3, \frac{2}{3})$。最后通过二项分布概率公式计算 $P\{Y \ge 2\}$。关键在于识别出独立重复试验模型，将连续型随机变量的问题转化为离散型二项分布问题。
📋 解题步骤
1
概率密度与试验设置
▼
$X$在$[2,5]$上服从均匀分布，其概率密度函数为
$$f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3},&2\le x\le 5\\0,&\text{其他}\end{cases}$$
试验次数$n=3$。
$$f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3},&2\le x\le 5\\0,&\text{其他}\end{cases}$$
试验次数$n=3$。
2
定义事件并计算单次概率
▼
记事件$A$：$X$的观测值大于$3$，即$A=\{X>3\}$。
$$P
(A)=P\{X>3\}=\int_3^{+\infty}f(x)\,dx=\int_3^5\frac{1}{3}\,dx=\frac{2}{3}$$
$$P
(A)=P\{X>3\}=\int_3^{+\infty}f(x)\,dx=\int_3^5\frac{1}{3}\,dx=\frac{2}{3}$$
3
建立二项分布模型
▼
设$Y$为$3$次独立观察中事件$A$发生的次数，则$Y\sim B\left(3,\dfrac{2}{3}\right)$。其分布律为
$$P\{Y=k\}=\mathrm{C}_{3}^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{3-k},\quad k=0,1,2,3$$
$$P\{Y=k\}=\mathrm{C}_{3}^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{3-k},\quad k=0,1,2,3$$
4
计算所求概率
▼
求至少有两次观测值大于$3$的概率，即求$P\{Y\ge 2\}$：
$$\begin{aligned}P\{Y\ge 2\}&=P\{Y=2\}+P\{Y=3\}\\&=\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot\frac{1}{3}+\mathrm{C}_{3}^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\\&=\frac{20}{27}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}P\{Y\ge 2\}&=P\{Y=2\}+P\{Y=3\}\\&=\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot\frac{1}{3}+\mathrm{C}_{3}^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\\&=\frac{20}{27}\end{aligned}$$
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