第4题
现欲从甲、乙、丙、亁4名选手中选取1人射击目标1次，他们被选中的概率分别为$0.1, 0.1, 0.3, 0.5$；已知他们各自击中目标的概率分别为$0.65, 0.7, 0.75, 0.85$。(1) 求目标被击中的概率；(2) 若目标被击中，求其是被丙击中的概率。
答案
(1) $0.785$; (2) $\dfrac{45}{157} \approx 0.287$
📖 前置知识梳理
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本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式综合应用。解题框架：把“选择哪名选手射击”看作完备事件组 $B_i$（原因），“目标被击中”看作事件 $A$（结果）。(1) 求结果概率用全概率公式：$P
(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)$；(2) 求“已知结果，追溯原因”用贝叶斯公式：$P(B_3|A)=\frac{P(B_3)P(A|B_3)}{P(A)}$。关键是正确列出完备事件组，并区分先验概率 $P(B_i)$ 与条件概率 $P(A|B_i)$。
(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)$；(2) 求“已知结果，追溯原因”用贝叶斯公式：$P(B_3|A)=\frac{P(B_3)P(A|B_3)}{P(A)}$。关键是正确列出完备事件组，并区分先验概率 $P(B_i)$ 与条件概率 $P(A|B_i)$。
📋 解题步骤
1
事件符号化
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记$A$：目标被击中；$B_i$：甲、乙、丙、丁射击，$i=1,2,3,4$。且$P(B_1)=0.1$，$P(B_2)=0.1$，$P(B_3)=0.3$，$P(B_4)=0.5$；$P(A|B_1)=0.65$，$P(A|B_2)=0.7$，$P(A|B_3)=0.75$，$P(A|B_4)=0.85$。
2
全概率公式
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由全概率公式：
$$P(A) = \sum_{i=1}^{4} P(B_i) \cdot P(A|B_i) = 0.1 \times 0.65 + 0.1 \times 0.7 + 0.3 \times 0.75 + 0.5 \times 0.85 = 0.785$$
$$P(A) = \sum_{i=1}^{4} P(B_i) \cdot P(A|B_i) = 0.1 \times 0.65 + 0.1 \times 0.7 + 0.3 \times 0.75 + 0.5 \times 0.85 = 0.785$$
3
贝叶斯公式
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由贝叶斯公式：
$$P(B_3|A) = \frac{P(AB_3)}{P
(A)} = \frac{P(B_3) \cdot P(A|B_3)}{P(A)} = \frac{0.3 \times 0.75}{0.785} = \frac{45}{157} \approx 0.287$$
$$P(B_3|A) = \frac{P(AB_3)}{P
(A)} = \frac{P(B_3) \cdot P(A|B_3)}{P(A)} = \frac{0.3 \times 0.75}{0.785} = \frac{45}{157} \approx 0.287$$
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