第5题
设$X$的概率密度为
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&-1<x<0,\$$4pt]\dfrac{1}{4},&0\le x<2,\$$4pt]0,&\text{其他}.\end{cases}$$
求$Y=X^2$的概率密度。
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&-1<x<0,\$$4pt]\dfrac{1}{4},&0\le x<2,\$$4pt]0,&\text{其他}.\end{cases}$$
求$Y=X^2$的概率密度。
答案
$f_Y(y)=\begin{cases}\dfrac{3}{8\sqrt{y}},&0<y<1,\\\dfrac{1}{8\sqrt{y}},&1<y<4,\\0,&\text{其他}.\end{cases}$
📖 前置知识梳理
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本题是随机变量函数的概率密度求解经典题型，老师强调使用'分布函数求导法'（红色标注）。解题关键在于：1) 分段区间采用左闭右开（黄色标注），避免端点重复计算；2) 由于 $f(x)$ 是分段函数，且 $Y=X^2$ 不是单调函数，需要以 $y=1$ 和 $y=4$ 为分界点分段讨论，这两个分界点分别对应 $\sqrt{y}=1$（即 $y=1$，此时 $-\sqrt{y}=-1$ 触及 $f(x)$ 的左边界）和 $\sqrt{y}=2$（即 $y=4$，此时 $\sqrt{y}=2$ 触及 $f(x)$ 的右边界）；3) 在每个区间内，根据 $f(x)$ 的分段表达式将积分拆开计算。特别注意当 $0 \le y < 1$ 时，积分区间 $[-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$ 跨越 $x=0$，需要分成两段积分。
📋 解题步骤
1
求Y的分布函数F_Y(y)
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$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X^2\le y\}$，$y\in(-\infty,+\infty)$。
2
当y<0时
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$\{X^2\le y\}$为不可能事件，故$F_Y(y)=0$。
3
当0≤y<1时
▼
$F_Y(y)=P\{-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\}=\displaystyle\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x)\,dx=\int_{-\sqrt{y}}^{0}\frac{1}{2}\,dx+\int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{1}{4}\,dx=\frac{3}{4}\sqrt{y}$。
4
当1≤y<4时
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$F_Y(y)=\displaystyle\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{2}\,dx+\int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{y}$。
5
当y≥4时
▼
$F_Y(y)=1$。
6
综合F_Y(y)
▼
综上，
$$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\\dfrac{3}{4}\sqrt{y},&0\le y<1,\\\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\sqrt{y},&1\le y<4,\\1,&y\ge 4.\end{cases}$$
$$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\\dfrac{3}{4}\sqrt{y},&0\le y<1,\\\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\sqrt{y},&1\le y<4,\\1,&y\ge 4.\end{cases}$$
7
求导得概率密度
▼
对$F_Y(y)$求导得
$$f_Y(y)=F_Y'(y)=\begin{cases}\dfrac{3}{8\sqrt{y}},&0<y<1,\\\dfrac{1}{8\sqrt{y}},&1<y<4,\\0,&\text{其他}.\end{cases}$$
$$f_Y(y)=F_Y'(y)=\begin{cases}\dfrac{3}{8\sqrt{y}},&0<y<1,\\\dfrac{1}{8\sqrt{y}},&1<y<4,\\0,&\text{其他}.\end{cases}$$
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