第5题
设随机变量 $X,Y,Z$ 相互独立，且 $X \sim N(\mu, 4)$ (正态分布)，$P\{X \le 3\} = 0.5$，$Y \sim \pi(\lambda)$ (泊松分布)，$P\{Y=0\} = e^{-4}$，$Z$ 服从指数分布，$f(z)=\begin{cases}\frac{1}{9}e^{-\frac{z}{\theta}}, & z>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则 $\mu=$____，$\lambda=$____，$\theta=$____，$2X-3 \sim$____，$P\{Z \le 18\}=$____，$E(X-2Y+Z-\pi)=$____，$D(-2X+3Y+Z-e)=$____。
答案
$\mu=3$; $\lambda=4$; $\theta=9$; $2X-3 \sim N(3,16)$; $P\{Z\le18\}=1-e^{-2}$; $E(X-2Y+Z-\pi)=4-\pi$; $D(-2X+3Y+Z-e)=133$
📖 前置知识梳理
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本题综合考查正态分布、泊松分布、指数分布的定义及期望、方差性质。要点：(1) 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 关于均值 $\mu$ 对称，$P(X\le\mu)=0.5$；(2) 泊松分布 $P(Y=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，$P(Y=0)=e^{-\lambda}$；(3) 指数分布密度 $f(z)=\frac{1}{\theta}e^{-z/\theta}, z>0$，参数 $\theta$ 既是均值也是标准差；(4) 独立随机变量线性组合的期望与方差：$E(aX+b)=aE(X)+b$，$D(aX+b)=a^2D(X)$，对于独立变量之和方差可直接相加。注意区分 $\pi$ 与 $e$ 在期望计算中作为常数处理。
📋 解题步骤
1
确定$\mu$
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$X \sim N(\mu, 4)$，$P\{X \le 3\}=0.5$，由正态分布对称性知$P\{X \le \mu\}=0.5$，故$\mu=3$。
2
确定$2X-3$的分布
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$2X-3 \sim N(3, 16)$，因为$E(2X-3)=2E(X)-3=2\cdot3-3=3$，$D(2X-3)=2^2D(X)=4\cdot4=16$。
3
确定$\lambda$
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$Y \sim \pi(\lambda)$，$P\{Y=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。由$P\{Y=0\}=e^{-4}=e^{-\lambda}$，故$\lambda=4$。
4
确定$\theta$
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对比指数分布标准密度$f(z)=\frac{1}{\theta}e^{-z/\theta}$与题目中的$f(z)=\frac{1}{9}e^{-z/\theta}$，得$\theta=9$。
5
计算$P\{Z \le 18\}$
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$$P\{Z \le 18\}=\int_0^{18}\frac{1}{9}e^{-z/9}dz=-e^{-z/9}\Big|_0^{18}=1-e^{-2}$$
6
计算$E(X-2Y+Z-\pi)$
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$E(X)=3, E(Y)=D(Y)=4, E(Z)=9$，故
$E(X-2Y+Z-\pi)=3-2\cdot4+9-\pi=4-\pi$。
$E(X-2Y+Z-\pi)=3-2\cdot4+9-\pi=4-\pi$。
7
计算$D(-2X+3Y+Z-e)$
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$D(X)=4, D(Y)=4, D(Z)=81$，故
$D(-2X+3Y+Z-e)=(-2)^2\cdot4+3^2\cdot4+81=16+36+81=133$。
$D(-2X+3Y+Z-e)=(-2)^2\cdot4+3^2\cdot4+81=16+36+81=133$。
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