第6题
设$(X,Y)$的概率密度为
$$f(x,y)=\begin{cases}2-x-y,&0
答案
$f_Z(z)=\begin{cases}0,&z<0,\\2z-z^2,&0\le z<1,\\(2-z)^2,&1\le z<2,\\0,&z\ge2.\end{cases}$
📋 解题步骤
1
建立卷积公式并确定积分区域
▼
由卷积公式，$Z=X+Y$的概率密度为
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx,\quad z\in\mathbb{R}.$$
要使$f(x,z-x)
eq0$，需$\begin{cases}0
2
讨论$z<0$
▼
当$z<0$时，区间$(0,1)$与$(z-1,z)$无交集，故$f_Z(z)=0$。
3
讨论$0\le z<1$
▼
当$0\le z<1$时，两区间交集为$(0,z)$，于是
$$f_Z(z)=\int_0^z[2-x-(z-x)]\,dx=\int_0^z(2-z)\,dx=2z-z^2.$$
4
讨论$1\le z<2$
▼
当$1\le z<2$时，两区间交集为$(z-1,1)$，于是
$$f_Z(z)=\int_{z-1}^1(2-z)\,dx=(2-z)\bigl[1-(z-1)\bigr]=(2-z)^2.$$
5
讨论$z\ge2$并综合
▼
当$z\ge2$时，区间$(0,1)$与$(z-1,z)$无交集，故$f_Z(z)=0$。综上，
$$f_Z(z)=\begin{cases}0,&z<0,\\2z-z^2,&0\le z<1,\\(2-z)^2,&1\le z<2,\\0,&z\ge2.\end{cases}$$
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