第6题
设$(X,Y)$的概率密度为
$$f(x,y)=\begin{cases}2-x-y,&0<x<1,\ 0<y<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}$$
求$Z=X+Y$的概率密度。
$$f(x,y)=\begin{cases}2-x-y,&0<x<1,\ 0<y<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}$$
求$Z=X+Y$的概率密度。
答案
$f_Z(z)=\begin{cases}0,&z<0,\\2z-z^2,&0\le z<1,\\(2-z)^2,&1\le z<2,\\0,&z\ge2.\end{cases}$
📖 前置知识梳理
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本题是二维随机变量和的概率密度求解，老师强调'公式+讨论'的方法（红色标注）。核心思路：1) 使用卷积公式 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx$；2) 关键是确定积分区间，即找出使 $f(x, z-x) \neq 0$ 的 $x$ 的范围，这要求同时满足 $0 < x < 1$ 和 $0 < z-x < 1$；3) 将不等式组化简后，通过数轴图分析两个区间 $[0,1]$ 和 $[z-1,z]$ 的交集情况；4) 分界点由区间端点重合确定：$z-1=0$（即 $z=1$）、$z=0$、$z-1=1$（即 $z=2$），因此分四段讨论。老师特别用数轴图示（红色弧线标出交集区间）帮助理解不同 $z$ 值下积分限的变化。注意被积函数化简时 $2-x-(z-x) = 2-z$ 与 $x$ 无关，使积分计算简化。
📋 解题步骤
1
建立卷积公式并确定积分区域
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由卷积公式，$Z=X+Y$的概率密度为
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx,\quad z\in\mathbb{R}.$$
要使$f(x,z-x)\neq0$，需$\begin{cases}0<x<1\\0<z-x<1\end{cases}$有解，即$\begin{cases}0<x<1\\z-1<x<z\end{cases}$。
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx,\quad z\in\mathbb{R}.$$
要使$f(x,z-x)\neq0$，需$\begin{cases}0<x<1\\0<z-x<1\end{cases}$有解，即$\begin{cases}0<x<1\\z-1<x<z\end{cases}$。
2
讨论$z<0$
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当$z<0$时，区间$(0,1)$与$(z-1,z)$无交集，故$f_Z(z)=0$。
3
讨论$0\le z<1$
▼
当$0\le z<1$时，两区间交集为$(0,z)$，于是
$$f_Z(z)=\int_0^z[2-x-(z-x)]\,dx=\int_0^z(2-z)\,dx=2z-z^2.$$
$$f_Z(z)=\int_0^z[2-x-(z-x)]\,dx=\int_0^z(2-z)\,dx=2z-z^2.$$
4
讨论$1\le z<2$
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当$1\le z<2$时，两区间交集为$(z-1,1)$，于是
$$f_Z(z)=\int_{z-1}^1(2-z)\,dx=(2-z)\bigl[1-(z-1)\bigr]=(2-z)^2.$$
$$f_Z(z)=\int_{z-1}^1(2-z)\,dx=(2-z)\bigl[1-(z-1)\bigr]=(2-z)^2.$$
5
讨论$z\ge2$并综合
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当$z\ge2$时，区间$(0,1)$与$(z-1,z)$无交集，故$f_Z(z)=0$。综上，
$$f_Z(z)=\begin{cases}0,&z<0,\\2z-z^2,&0\le z<1,\\(2-z)^2,&1\le z<2,\\0,&z\ge2.\end{cases}$$
$$f_Z(z)=\begin{cases}0,&z<0,\\2z-z^2,&0\le z<1,\\(2-z)^2,&1\le z<2,\\0,&z\ge2.\end{cases}$$
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