真题库 期末复习 知识点 随机一题
第6题
设 $X$ 在区间 $(0,5)$ 服从均匀分布，则方程 $4x^2 + 4Xx + X + 2 = 0$ 有实根的概率为____。
答案
$\dfrac{3}{5}$
均匀分布 概率密度函数 一元二次方程的判别式 连续型随机变量的概率计算

📋 解题步骤

1
确定概率密度函数
▼
因为 $X$ 在区间 $(0,5)$ 上服从均匀分布，所以其概率密度函数为 $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5}, & 0
2
利用判别式确定 $X$ 的范围并计算概率
▼
方程 $4x^2+4Xx+X+2=0$ 有实根等价于判别式 $\Delta=(4X)^2-4\cdot4(X+2)\geq0$，即 $X\geq2$ 或 $X\leq-1$。因此所求概率为 $$P\{(X\geq2)\cup(X\leq-1)\}=P\{X\geq2\}+P\{X\leq-1\}=\int_{2}^{+\infty}f(x)dx=\int_{2}^{5}\frac{1}{5}dx=\frac{3}{5}.$$
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