第6题
设 $X$ 在区间 $(0,5)$ 上服从均匀分布，则方程 $4x^2 + 4Xx + X + 2 = 0$ 有实根的概率为____。
答案
$\dfrac{3}{5}$
📖 前置知识梳理
▼
本题将一元二次方程有实根条件与均匀分布概率计算结合。核心思路：(1) 方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实根 $\Leftrightarrow \Delta=b^2-4ac\ge0$，由此解出随机变量 $X$ 的取值范围；(2) 对连续型随机变量 $X\sim U(a,b)$，概率 $P(c<X<d)$ 等于区间长度之比（在 $X$ 取值范围内）。注意：$X$ 的取值范围是 $(0,5)$，所以 $X\le-1$ 的部分概率为0，只需计算 $X\ge2$ 的部分。
📋 解题步骤
1
确定概率密度函数
▼
因为 $X$ 在区间 $(0,5)$ 上服从均匀分布，所以其概率密度函数为
$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5}, & 0 < x < 5 \\ 0, & \text{其它}\end{cases}$$
$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5}, & 0 < x < 5 \\ 0, & \text{其它}\end{cases}$$
2
利用判别式确定 $X$ 的范围并计算概率
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方程 $4x^2+4Xx+X+2=0$ 有实根等价于判别式 $\Delta = (4X)^2 - 4 \cdot 4(X+2) \geq 0$，即 $X \geq 2$ 或 $X \leq -1$。因此所求概率为
$$P\{X \geq 2\} + P\{X \leq -1\} = \int_{2}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{2}^{5} \frac{1}{5}\,dx = \frac{3}{5}.$$
$$P\{X \geq 2\} + P\{X \leq -1\} = \int_{2}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{2}^{5} \frac{1}{5}\,dx = \frac{3}{5}.$$
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