第7题
设$X,Y$均独立，且均在$[0,3]$上服从均匀分布，则$P\{\max(X,Y)\le1\}=$______。
答案
$\dfrac{1}{9}$
📖 前置知识梳理
▼
本题核心技巧是最大值不等式的等价转换：$\max\{X,Y\} \le a$ 等价于 $X \le a$ 且 $Y \le a$。老师强调这个转换是处理最大值概率问题的关键。利用独立性将联合概率拆分为边缘概率的乘积，再利用同分布性质简化为单一概率的平方。对于均匀分布 $U[0,3]$，$P\{X \le 1\}$ 既可以用积分计算，也可以直接用几何概率（长度比 $\frac{1}{3}$）快速得到。本题是考研填空题常见题型，考察对最大值分布和独立性的综合运用。
📋 解题步骤
1
事件转化
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根据最大值函数的性质，$P\{\max(X,Y)\le1\}=P\{X\le1,Y\le1\}$。
2
利用独立性
▼
因为$X,Y$独立，所以
$$P\{X\le1,Y\le1\}=P\{X\le1\}\cdot P\{Y\le1\}.$$
$$P\{X\le1,Y\le1\}=P\{X\le1\}\cdot P\{Y\le1\}.$$
3
利用同分布
▼
因为$X,Y$同分布，所以$P\{X\le1\}\cdot P\{Y\le1\}=[P\{X\le1\}]^2$。
4
计算单次概率
▼
由$X\sim U[0,3]$，其概率密度为
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3},&0\le x\le3\\0,&\text{其他}\end{cases}$$
得$P\{X\le1\}=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}$。
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3},&0\le x\le3\\0,&\text{其他}\end{cases}$$
得$P\{X\le1\}=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}$。
5
得出结果
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故原式$=[P\{X\le1\}]^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$。
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