第7题
设在三次独立试验中，事件 $A$ 出现的概率相等，若已知 $A$ 至少出现一次的概率等于 $\dfrac{19}{27}$，则事件 $A$ 在一次试验中出现的概率是______。
答案
$\dfrac{1}{3}$
📖 前置知识梳理
▼
本题考查二项分布与对立事件。解题关键：(1) 将三次独立试验中事件 $A$ 发生次数记为 $X$，则 $X\sim b(3,p)$；(2) “至少发生一次”用对立事件转化最简单：$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^3$；(3) 解方程 $(1-p)^3=1-\frac{19}{27}=\frac{8}{27}$ 得 $p=\frac{1}{3}$。注意：不要直接展开 $P(X\ge1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$，那样计算量大且容易出错。
📋 解题步骤
1
建立模型
▼
设事件 $A$ 在一次试验中发生的概率为 $p$，现进行了三次独立试验，即 $n=3$。
2
确定分布
▼
记 $X$ 为三次试验中事件 $A$ 发生的次数，则 $X\sim b(3,p)$，其分布律为 $P\{X=k\}=C_3^k p^k(1-p)^{3-k},\ k=0,1,2,3$。
3
利用对立事件求解
▼
由已知 $P\{X\geq 1\}=\frac{19}{27}$，利用对立事件得 $P\{X\geq 1\}=1-P\{X=0\}=1-C_3^0 p^0(1-p)^3=1-(1-p)^3$。
4
解方程得结论
▼
解方程 $(1-p)^3=\frac{8}{27}$，得 $1-p=\frac{2}{3}$，从而 $p=\frac{1}{3}$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...