第7题
设在三次独立试验中，事件 $A$ 出现的概率相等，若已知 $A$ 至少出现一次的概率等于 $\dfrac{19}{27}$，则事件 $A$ 在一次试验中出现的概率是______。
答案
$\dfrac{1}{3}$
📋 解题步骤
1
建立模型
▼
设事件 $A$ 在一次试验中发生的概率为 $p$，现进行了三次独立试验，即 $n=3$。
2
确定分布
▼
记 $X$ 为三次试验中事件 $A$ 发生的次数，则 $X\sim b(3,p)$，其分布律为 $P\{X=k\}=C_3^k p^k(1-p)^{3-k},\ k=0,1,2,3$。
3
利用对立事件求解
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由已知 $P\{X\geq 1\}=\frac{19}{27}$，利用对立事件得 $P\{X\geq 1\}=1-P\{X=0\}=1-C_3^0 p^0(1-p)^3=1-(1-p)^3$。
4
解方程得结论
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解方程 $(1-p)^3=\frac{8}{27}$，得 $1-p=\frac{2}{3}$，从而 $p=\frac{1}{3}$。
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