第8题
设$X_1,X_2,\cdots,X_{20}$为来自总体$N(0,4)$的样本。统计量$Y=\sum\limits_{k=1}^{9}X_k^2$，$Z=\dfrac{3X_{20}}{\sqrt{Y}}$，$W=\dfrac{Y}{\sum\limits_{k=11}^{18}X_k^2}$。则$\dfrac{Y}{4}$服从______，$Z$服从______，$W$服从______。若$a(X_1-2X_2)^2+b(X_{12}+X_6)^2\sim\chi^2(2)$，则$a=$______，$b=$______。
答案
$\dfrac{Y}{4}\sim\chi^2(9)$，$Z\sim t(9)$，$\dfrac{8}{9}W\sim F(9,8)$；$a=\dfrac{1}{20}$, $b=\dfrac{1}{8}$
📋 解题步骤
1
标准化
▼
$X_1,X_2,\cdots,X_{20}\sim N(0,4)\Rightarrow\dfrac{X_k}{2}\sim N(0,1)$，$k=1,\cdots,20$。
2
Y/4的分布
▼
$\dfrac{Y}{4}=\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{9}X_k^2=\sum\limits_{k=1}^{9}\left(\dfrac{X_k}{2}\right)^2\sim\chi^2(9)$。
3
Z的分布
▼
$Z=\dfrac{3X_{20}}{\sqrt{Y}}=\dfrac{\dfrac{X_{20}}{2}}{\sqrt{\dfrac{Y/4}{9}}}\sim t(9)$。
4
W的分布
▼
$\dfrac{8}{9}W=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{Y}{\sum\limits_{k=11}^{18}X_k^2}=\dfrac{Y/4\,/\,9}{\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=11}^{18}X_k^2\,/\,8}\sim F(9,8)$。故$\dfrac{8}{9}W\sim F(9,8)$。
5
求a,b
▼
$X_1-2X_2\sim N(0,20)$，故$\dfrac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\sim N(0,1)$，
$X_{12}+X_6\sim N(0,8)$，故$\dfrac{X_{12}+X_6}{\sqrt{8}}\sim N(0,1)$。
因此
$$\left(\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\right)^2+\left(\frac{X_{12}+X_6}{\sqrt{8}}\right)^2=\frac{1}{20}(X_1-2X_2)^2+\frac{1}{8}(X_{12}+X_6)^2\sim\chi^2(2).$$
故$a=\dfrac{1}{20}$，$b=\dfrac{1}{8}$。
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