第8题
设$X_1,X_2,\cdots,X_{20}$为来自总体$N(0,4)$的样本。统计量$Y=\sum\limits_{k=1}^{9}X_k^2$，$Z=\dfrac{3X_{20}}{\sqrt{Y}}$，$W=\dfrac{Y}{\sum\limits_{k=11}^{18}X_k^2}$。则$\dfrac{Y}{4}$服从______，$Z$服从______，$W$服从______。若$a(X_1-2X_2)^2+b(X_{12}+X_6)^2\sim\chi^2(2)$，则$a=$______，$b=$______。
答案
$\dfrac{Y}{4}\sim\chi^2(9)$，$Z\sim t(9)$，$\dfrac{8}{9}W\sim F(9,8)$；$a=\dfrac{1}{20}$, $b=\dfrac{1}{8}$
📖 前置知识梳理
▼
本题考查三大抽样分布：$\chi^2$ 分布、$t$ 分布、$F$ 分布。核心思路是先标准化：将 $N(0,4)$ 的样本通过除以 2 转化为标准正态 $N(0,1)$，再套用三大分布的定义。
1. $\chi^2$ 分布定义：设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$。
2. $t$ 分布定义：若 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X, Y$ 独立，则 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$。注意分母中 $\chi^2$ 变量必须除以自由度 $n$。
3. $F$ 分布定义：若 $U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$，且 $U, V$ 独立，则 $\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$。
易错点提醒：
- 三大分布的构造都要求分子分母独立，本题中各组样本相互独立，满足条件。
- 对于 $\frac{8}{9}W$ 的变形，关键是将分子分母都转化为 $\chi^2$ 变量除以各自自由度之比的形式。
- 求 $a, b$ 时，先利用正态分布的可加性求出线性组合的均值和方差，再标准化为标准正态，最后平方得到 $\chi^2$ 分布。
1. $\chi^2$ 分布定义：设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$。
2. $t$ 分布定义：若 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X, Y$ 独立，则 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$。注意分母中 $\chi^2$ 变量必须除以自由度 $n$。
3. $F$ 分布定义：若 $U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$，且 $U, V$ 独立，则 $\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$。
易错点提醒：
- 三大分布的构造都要求分子分母独立，本题中各组样本相互独立，满足条件。
- 对于 $\frac{8}{9}W$ 的变形，关键是将分子分母都转化为 $\chi^2$ 变量除以各自自由度之比的形式。
- 求 $a, b$ 时，先利用正态分布的可加性求出线性组合的均值和方差，再标准化为标准正态，最后平方得到 $\chi^2$ 分布。
📋 解题步骤
1
标准化
▼
$X_1,X_2,\cdots,X_{20}\sim N(0,4)\Rightarrow\dfrac{X_k}{2}\sim N(0,1)$，$k=1,\cdots,20$。
2
Y/4的分布
▼
$\dfrac{Y}{4}=\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{9}X_k^2=\sum\limits_{k=1}^{9}\left(\dfrac{X_k}{2}\right)^2\sim\chi^2(9)$。
3
Z的分布
▼
$Z=\dfrac{3X_{20}}{\sqrt{Y}}=\dfrac{\dfrac{X_{20}}{2}}{\sqrt{\dfrac{Y/4}{9}}}\sim t(9)$。
4
W的分布
▼
$\dfrac{8}{9}W=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{Y}{\sum\limits_{k=11}^{18}X_k^2}=\dfrac{Y/4\,/\,9}{\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=11}^{18}X_k^2\,/\,8}\sim F(9,8)$。故$\dfrac{8}{9}W\sim F(9,8)$。
5
求a,b
▼
$X_1-2X_2\sim N(0,20)$，故$\dfrac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\sim N(0,1)$，
$X_{12}+X_6\sim N(0,8)$，故$\dfrac{X_{12}+X_6}{\sqrt{8}}\sim N(0,1)$。
因此
$$\left(\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\right)^2+\left(\frac{X_{12}+X_6}{\sqrt{8}}\right)^2=\frac{1}{20}(X_1-2X_2)^2+\frac{1}{8}(X_{12}+X_6)^2\sim\chi^2(2).$$
故$a=\dfrac{1}{20}$，$b=\dfrac{1}{8}$。
$X_{12}+X_6\sim N(0,8)$，故$\dfrac{X_{12}+X_6}{\sqrt{8}}\sim N(0,1)$。
因此
$$\left(\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\right)^2+\left(\frac{X_{12}+X_6}{\sqrt{8}}\right)^2=\frac{1}{20}(X_1-2X_2)^2+\frac{1}{8}(X_{12}+X_6)^2\sim\chi^2(2).$$
故$a=\dfrac{1}{20}$，$b=\dfrac{1}{8}$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...