第8题
设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y=X^2$ 在 $(0,4)$ 内的概率密度函数 $f_Y(y)=$______。
答案
$\dfrac{1}{4\sqrt{y}}$ （或分段函数形式）
📖 前置知识梳理
▼
本题考查连续型随机变量函数的分布。对于单调可导变换 $Y=g(X)$，可直接使用概率密度变换公式：$f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot|h'(y)|$，其中 $x=h(y)$ 是反函数。关键步骤：(1) 确定 $Y=X^2$ 的值域为 $(0,4)$；(2) 在 $x\in(0,2)$ 上 $g(x)=x^2$ 严格单调递增，反函数 $h(y)=\sqrt{y}$；(3) 计算 $|h'(y)|=\frac{1}{2\sqrt{y}}$；(4) 代入 $f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2}$ 得 $f_Y(y)=\frac{1}{4\sqrt{y}}, 0<y<4$。注意：若变换不单调，需用分布函数法分段讨论。
📋 解题步骤
1
写出 $X$ 的概率密度
▼
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0<x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
2
确定变换关系及单调性
▼
$Y=X^2$，即 $y=g(x)=x^2$。当 $x\in(0,2)$ 时，$g'(x)=2x>0$，函数严格单调递增。
3
求反函数及其导数
▼
由 $y=x^2$ 得反函数 $x=h(y)=\sqrt{y}$，其导数为 $h'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}$。
4
确定 $Y$ 的取值范围
▼
由于 $g(0)=0, g(2)=4$，故 $Y$ 的取值范围是 $(0,4)$，即 $\alpha=0, \beta=4$。
5
应用概率密度变换公式
▼
根据单调函数的概率密度变换公式：
$$f_Y(y) = \begin{cases} f_X[h(y)] \cdot |h'(y)|, & \alpha<y<\beta \\ 0, & \text{其他} \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}, & 0<y<4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{4\sqrt{y}}, & 0<y<4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
$$f_Y(y) = \begin{cases} f_X[h(y)] \cdot |h'(y)|, & \alpha<y<\beta \\ 0, & \text{其他} \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}, & 0<y<4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{4\sqrt{y}}, & 0<y<4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
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