$E(X)=0\cdot\theta^2+1\cdot2\theta(1-\theta)+2\cdot\theta^2+3(1-2\theta)=3-4\theta$。 样本均值$\bar{x}=\dfrac{1}{8}(3+1+3+0+3+1+2+3)=2$。 令$\bar{x}=E(X)$，即$2=3-4\theta$，解得$\theta$的矩估计值$\hat{\theta}=\dfrac{1}{4}$。

根据样本值统计，$0$出现$1$次，$1$出现$2$次，$2$出现$1$次，$3$出现$4$次，故 $$L(\theta)=\theta^2\cdot[2\theta(1-\theta)]^2\cdot\theta^2\cdot(1-2\theta)^4=4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4.$$

$\ln L(\theta)=\ln4+6\ln\theta+2\ln(1-\theta)+4\ln(1-2\theta)$。 $\dfrac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\dfrac{6}{\theta}-\dfrac{2}{1-\theta}-\dfrac{8}{1-2\theta}=\dfrac{6-28\theta+24\theta^2}{\theta(1-\theta)(1-2\theta)}=0$。 即$24\theta^2-28\theta+6=0$。

解得$\theta=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{12}$。 因$0<\theta<\dfrac{1}{2}$，$\theta_1=\dfrac{7+\sqrt{13}}{12}>\dfrac{1}{2}$（舍去）， $\theta_2=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}<\dfrac{1}{2}$（符合）。 故$\theta$的最大似然估计值$\hat{\theta}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}$。