第9题
已知$X$的分布律如下，$0<\theta<\dfrac{1}{2}$，样本值为$3,1,3,0,3,1,2,3$，求$\theta$的矩估计值和最大似然估计值。
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $P$ | $\theta^2$ | $2\theta(1-\theta)$ | $\theta^2$ | $1-2\theta$ |
答案
矩估计值$\hat{\theta}=\dfrac{1}{4}$；最大似然估计值$\hat{\theta}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}$
📖 前置知识梳理
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本题考查矩估计法和最大似然估计法。
矩估计法思路：利用总体矩等于样本矩的原则，一般令一阶原点矩（即期望）等于样本均值，解出未知参数。步骤为：①计算 $E(X)$；②计算样本均值 $\bar{x}$；③令 $\bar{x} = E(X)$，解出参数估计值。
最大似然估计法思路：①构造似然函数 $L(\theta)$，即样本联合概率（离散型为概率乘积）；②取对数得到 $\ln L(\theta)$，将乘积转化为求和，便于求导；③对参数求导并令导数为 0，解出极值点；④验证该极值点是否为最大值点。
易错点提醒：
- 构造似然函数时，要根据样本值统计各取值出现的频数，避免重复书写。本题中 0 出现 1 次，1 出现 2 次，2 出现 1 次，3 出现 4 次。
- 对数似然函数求导后，注意通分合并，解二次方程时要结合参数的范围 $0 < \theta < \frac{1}{2}$ 进行取舍。
- 矩估计值和最大似然估计值一般不相等，这是正常现象。
矩估计法思路：利用总体矩等于样本矩的原则，一般令一阶原点矩（即期望）等于样本均值，解出未知参数。步骤为：①计算 $E(X)$；②计算样本均值 $\bar{x}$；③令 $\bar{x} = E(X)$，解出参数估计值。
最大似然估计法思路：①构造似然函数 $L(\theta)$，即样本联合概率（离散型为概率乘积）；②取对数得到 $\ln L(\theta)$，将乘积转化为求和，便于求导；③对参数求导并令导数为 0，解出极值点；④验证该极值点是否为最大值点。
易错点提醒：
- 构造似然函数时，要根据样本值统计各取值出现的频数，避免重复书写。本题中 0 出现 1 次，1 出现 2 次，2 出现 1 次，3 出现 4 次。
- 对数似然函数求导后，注意通分合并，解二次方程时要结合参数的范围 $0 < \theta < \frac{1}{2}$ 进行取舍。
- 矩估计值和最大似然估计值一般不相等，这是正常现象。
📋 解题步骤
1
矩估计
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$E(X)=0\cdot\theta^2+1\cdot2\theta(1-\theta)+2\cdot\theta^2+3(1-2\theta)=3-4\theta$。
样本均值$\bar{x}=\dfrac{1}{8}(3+1+3+0+3+1+2+3)=2$。
令$\bar{x}=E(X)$，即$2=3-4\theta$，解得$\theta$的矩估计值$\hat{\theta}=\dfrac{1}{4}$。
样本均值$\bar{x}=\dfrac{1}{8}(3+1+3+0+3+1+2+3)=2$。
令$\bar{x}=E(X)$，即$2=3-4\theta$，解得$\theta$的矩估计值$\hat{\theta}=\dfrac{1}{4}$。
2
最大似然估计
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根据样本值统计，$0$出现$1$次，$1$出现$2$次，$2$出现$1$次，$3$出现$4$次，故
$$L(\theta)=\theta^2\cdot[2\theta(1-\theta)]^2\cdot\theta^2\cdot(1-2\theta)^4=4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4.$$
$$L(\theta)=\theta^2\cdot[2\theta(1-\theta)]^2\cdot\theta^2\cdot(1-2\theta)^4=4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4.$$
3
对数似然与求导
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$\ln L(\theta)=\ln4+6\ln\theta+2\ln(1-\theta)+4\ln(1-2\theta)$。
$\dfrac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\dfrac{6}{\theta}-\dfrac{2}{1-\theta}-\dfrac{8}{1-2\theta}=\dfrac{6-28\theta+24\theta^2}{\theta(1-\theta)(1-2\theta)}=0$。
即$24\theta^2-28\theta+6=0$。
$\dfrac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\dfrac{6}{\theta}-\dfrac{2}{1-\theta}-\dfrac{8}{1-2\theta}=\dfrac{6-28\theta+24\theta^2}{\theta(1-\theta)(1-2\theta)}=0$。
即$24\theta^2-28\theta+6=0$。
4
求解并检验
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解得$\theta=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{12}$。
因$0<\theta<\dfrac{1}{2}$，$\theta_1=\dfrac{7+\sqrt{13}}{12}>\dfrac{1}{2}$（舍去），
$\theta_2=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}<\dfrac{1}{2}$（符合）。
故$\theta$的最大似然估计值$\hat{\theta}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}$。
因$0<\theta<\dfrac{1}{2}$，$\theta_1=\dfrac{7+\sqrt{13}}{12}>\dfrac{1}{2}$（舍去），
$\theta_2=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}<\dfrac{1}{2}$（符合）。
故$\theta$的最大似然估计值$\hat{\theta}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}$。
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