第9题
随机变量 $X_k(k=1,2)$ 相互独立，其分布律为
$$\begin{array}{c|cc} X_k & -2 & 1 \\ \hline p & 0.4 & 0.6 \end{array}$$
则随机变量 $Z=X_1-X_2$ 的分布律为
$$\begin{array}{c|ccc} Z & & & \\ \hline p & & & \end{array}$$
$Z$ 的分布函数为__________。
$$\begin{array}{c|cc} X_k & -2 & 1 \\ \hline p & 0.4 & 0.6 \end{array}$$
则随机变量 $Z=X_1-X_2$ 的分布律为
$$\begin{array}{c|ccc} Z & & & \\ \hline p & & & \end{array}$$
$Z$ 的分布函数为__________。
答案
$Z$ 分布律：$P\{Z=-3\}=0.24, P\{Z=0\}=0.52, P\{Z=3\}=0.24$；分布函数见解析
📖 前置知识梳理
▼
本题考查两个离散型独立随机变量之差的分布律与分布函数。解题步骤：(1) 列出 $(X_1,X_2)$ 的所有可能组合，利用独立性计算联合概率；(2) 对每个组合计算 $Z=X_1-X_2$，合并相同取值得到 $Z$ 的分布律；(3) 由分布律按左闭右开原则写出分布函数 $F_Z(z)=P(Z\le z)$。注意：分布函数是阶梯函数，在 $Z$ 的跳跃点处取左极限，分段区间注意等号位置。
📋 解题步骤
1
确定 $Z$ 的所有可能取值及相应概率
▼
列出 $(X_1,X_2)$ 的所有组合及对应的 $Z=X_1-X_2$ 和概率（因独立，联合概率等于边缘概率乘积）：
$(-2,-2): Z=0, P=0.16$；$(-2,1): Z=-3, P=0.24$；
$(1,-2): Z=3, P=0.24$；$(1,1): Z=0, P=0.36$。
合并同值得：$Z=-3: 0.24$；$Z=0: 0.52$；$Z=3: 0.24$。
$(-2,-2): Z=0, P=0.16$；$(-2,1): Z=-3, P=0.24$；
$(1,-2): Z=3, P=0.24$；$(1,1): Z=0, P=0.36$。
合并同值得：$Z=-3: 0.24$；$Z=0: 0.52$；$Z=3: 0.24$。
2
求分布函数
▼
$F_Z(z)=P\{Z\le z\}=\begin{cases}0, & z<-3 \\ 0.24, & -3\le z<0 \\ 0.76, & 0\le z<3 \\ 1, & z\ge 3\end{cases}$ （左闭右开）
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