第10题
设总体$X$的概率密度为
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{6x(\theta-x)}{\theta^3},&0
答案
\(1\) $\hat{\theta}=2\bar{X}$；\(2\) $D(\hat{\theta})=\dfrac{1}{5n}\theta^2$；\(3\) 无偏；\(4\) 相合
📋 解题步骤
1
求矩估计量
▼
$$E(X)=\int_0^{\theta}x\cdot\frac{6x(\theta-x)}{\theta^3}\,dx=\frac{\theta}{2}.$$
令$\bar{X}=\dfrac{\theta}{2}$，得$\hat{\theta}=2\bar{X}$，故$\theta$的矩估计量为$\hat{\theta}=2\bar{X}$。
2
求$D(\hat{\theta})$
▼
$$E(X^2)=\int_0^{\theta}x^2\cdot\frac{6x(\theta-x)}{\theta^3}\,dx=\frac{3}{10}\theta^2.$$
故$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{1}{20}\theta^2.$$
从而
$$D(\hat{\theta})=D(2\bar{X})=4D(\bar{X})=4\frac{D(X)}{n}=\frac{1}{5n}\theta^2.$$
3
无偏性
▼
$E(\hat{\theta})=E(2\bar{X})=2E(\bar{X})=2E(X)=2\cdot\dfrac{\theta}{2}=\theta$。
$\therefore\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。
4
相合性
▼
由辛钦大数定律知$\bar{X}\xrightarrow{P}E(X)=\dfrac{\theta}{2}$。
故$2\bar{X}\xrightarrow{P}\theta$，即
$$\lim_{n\to\infty}P\{|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon\}=1.$$
故$\hat{\theta}$是$\theta$的相合估计量。
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