第10题
设总体$X$的概率密度为
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{6x(\theta-x)}{\theta^3},&0<x<\theta,\\0,&\text{其他},\end{cases}$$
$\theta$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为其样本，求：
(1) $\theta$的矩估计量$\hat{\theta}$；
(2) 求$D(\hat{\theta})$；
(3) 讨论$\hat{\theta}$的无偏性；
(4) 讨论$\hat{\theta}$的相合(一致)性。
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{6x(\theta-x)}{\theta^3},&0<x<\theta,\\0,&\text{其他},\end{cases}$$
$\theta$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为其样本，求：
(1) $\theta$的矩估计量$\hat{\theta}$；
(2) 求$D(\hat{\theta})$；
(3) 讨论$\hat{\theta}$的无偏性；
(4) 讨论$\hat{\theta}$的相合(一致)性。
答案
(1) $\hat{\theta}=2\bar{X}$；(2) $D(\hat{\theta})=\dfrac{1}{5n}\theta^2$；(3) 无偏；(4) 相合
📖 前置知识梳理
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本题综合考查矩估计、估计量的数字特征、无偏性和相合性。
(1) 矩估计量：对于连续型总体，计算 $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，令 $\bar{X} = E(X)$，反解出参数 $\theta$ 即得矩估计量。注意矩估计量是统计量，用样本表示，所以结果中应出现 $\bar{X}$ 而非具体数值。
(2) 求 $D(\hat{\theta})$：利用方差性质 $D(a\bar{X}) = a^2 D(\bar{X}) = a^2 \frac{D(X)}{n}$。关键是先求出总体方差 $D(X)$，这需要计算 $E(X^2)$。
(3) 无偏性判定：若 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。本题中 $E(\hat{\theta}) = E(2\bar{X}) = 2E(X) = \theta$，故为无偏估计。
(4) 相合性判定：相合性（一致性）是指 $\hat{\theta} \xrightarrow{P} \theta$，即 $\lim_{n \to \infty} P\{|\hat{\theta} - \theta| < \varepsilon\} = 1$。常用方法：①利用辛钦大数定律，若 $\hat{\theta}$ 是样本均值（或连续函数），则依概率收敛于总体矩；②利用切比雪夫不等式，若 $\lim_{n \to \infty} D(\hat{\theta}) = 0$ 且 $\hat{\theta}$ 无偏，则 $\hat{\theta}$ 是相合估计。本题用辛钦大数定律直接可得。
易错点提醒：
- 矩估计量 vs 矩估计值：估计量是随机变量（用大写 $\bar{X}$），估计值是具体数值（用小写 $\bar{x}$）。
- 计算 $E(X^2)$ 时注意积分区间是 $(0, \theta)$。
- 无偏性只看期望是否等于真值，与方差大小无关。
- 相合性讨论中，辛钦大数定律要求独立同分布且期望存在，本题样本满足条件。
(1) 矩估计量：对于连续型总体，计算 $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，令 $\bar{X} = E(X)$，反解出参数 $\theta$ 即得矩估计量。注意矩估计量是统计量，用样本表示，所以结果中应出现 $\bar{X}$ 而非具体数值。
(2) 求 $D(\hat{\theta})$：利用方差性质 $D(a\bar{X}) = a^2 D(\bar{X}) = a^2 \frac{D(X)}{n}$。关键是先求出总体方差 $D(X)$，这需要计算 $E(X^2)$。
(3) 无偏性判定：若 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。本题中 $E(\hat{\theta}) = E(2\bar{X}) = 2E(X) = \theta$，故为无偏估计。
(4) 相合性判定：相合性（一致性）是指 $\hat{\theta} \xrightarrow{P} \theta$，即 $\lim_{n \to \infty} P\{|\hat{\theta} - \theta| < \varepsilon\} = 1$。常用方法：①利用辛钦大数定律，若 $\hat{\theta}$ 是样本均值（或连续函数），则依概率收敛于总体矩；②利用切比雪夫不等式，若 $\lim_{n \to \infty} D(\hat{\theta}) = 0$ 且 $\hat{\theta}$ 无偏，则 $\hat{\theta}$ 是相合估计。本题用辛钦大数定律直接可得。
易错点提醒：
- 矩估计量 vs 矩估计值：估计量是随机变量（用大写 $\bar{X}$），估计值是具体数值（用小写 $\bar{x}$）。
- 计算 $E(X^2)$ 时注意积分区间是 $(0, \theta)$。
- 无偏性只看期望是否等于真值，与方差大小无关。
- 相合性讨论中，辛钦大数定律要求独立同分布且期望存在，本题样本满足条件。
📋 解题步骤
1
求矩估计量
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$$E(X)=\int_0^{\theta}x\cdot\frac{6x(\theta-x)}{\theta^3}\,dx=\frac{\theta}{2}.$$
令$\bar{X}=\dfrac{\theta}{2}$，得$\hat{\theta}=2\bar{X}$，故$\theta$的矩估计量为$\hat{\theta}=2\bar{X}$。
令$\bar{X}=\dfrac{\theta}{2}$，得$\hat{\theta}=2\bar{X}$，故$\theta$的矩估计量为$\hat{\theta}=2\bar{X}$。
2
求$D(\hat{\theta})$
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$$E(X^2)=\int_0^{\theta}x^2\cdot\frac{6x(\theta-x)}{\theta^3}\,dx=\frac{3}{10}\theta^2.$$
故$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{1}{20}\theta^2.$$
从而
$$D(\hat{\theta})=D(2\bar{X})=4D(\bar{X})=4\frac{D(X)}{n}=\frac{1}{5n}\theta^2.$$
故$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{1}{20}\theta^2.$$
从而
$$D(\hat{\theta})=D(2\bar{X})=4D(\bar{X})=4\frac{D(X)}{n}=\frac{1}{5n}\theta^2.$$
3
无偏性
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$E(\hat{\theta})=E(2\bar{X})=2E(\bar{X})=2E(X)=2\cdot\dfrac{\theta}{2}=\theta$。
$\therefore\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。
$\therefore\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。
4
相合性
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由辛钦大数定律知$\bar{X}\xrightarrow{P}E(X)=\dfrac{\theta}{2}$。
故$2\bar{X}\xrightarrow{P}\theta$，即
$$\lim_{n\to\infty}P\{|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon\}=1.$$
故$\hat{\theta}$是$\theta$的相合估计量。
故$2\bar{X}\xrightarrow{P}\theta$，即
$$\lim_{n\to\infty}P\{|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon\}=1.$$
故$\hat{\theta}$是$\theta$的相合估计量。
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