第10题
若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律如下表，其中 $a_i,b_j$ 未知。
(1) 计算 $a_i,b_j$ 的值；
(2) 计算条件分布律 $P\{Y=k|X=2\}$ 的值；
(3) 求 $U=\max\{X,Y\}$ 的分布律；
(4) 计算 $E(X), E(Y), E(XY)$；
(5) 问 $X,Y$ 是否不相关，是否相互独立？
答案
(1) $a_1=0.05,a_2=0.1,a_3=0.2,b_1=0.5,b_2=0.5,b_3=0.3,b_4=0.25$；
(2) $P\{Y=2|X=2\}=3/5, P\{Y=4|X=2\}=2/5$；
(3) $P\{U=2\}=0.5, P\{U=4\}=0.5$；
(4) $E(X)=0.2, E(Y)=3, E(XY)=0.8$；
(5) $X,Y$ 相关且不独立
📋 解题步骤
1
求 $a_i,b_j$
▼
利用联合分布律与边缘分布律的性质：
$a_2=0.1$（第一列：$0.2+a_2=0.3$）；$a_1=0.05$（第二列：$a_1+0.1=0.15$）；
$b_1=0.5$（第一行和）；$b_2=0.5$（总和为1）；$a_3=0.2$（第二行：$0.1+0.1+a_3+0.1=0.5$）；
$b_3=0.3$（第三列）；$b_4=0.25$（第四列）。
2
条件分布律 $P\{Y=k|X=2\}$
▼
$P\{Y=k|X=2\}=\frac{P\{X=2,Y=k\}}{P\{X=2\}}=\frac{P\{X=2,Y=k\}}{0.25}$
$P\{Y=2|X=2\}=\frac{0.15}{0.25}=\frac{3}{5}$；$P\{Y=4|X=2\}=\frac{0.1}{0.25}=\frac{2}{5}$
3
$U=\max\{X,Y\}$ 的分布律
▼
列出所有8个 $(X,Y)$ 组合的 $U=\max\{X,Y\}$ 及概率，合并同值得：$P\{U=2\}=0.5, P\{U=4\}=0.5$。
4
计算 $E(X), E(Y), E(XY)$
▼
$E(X)=(-2)(0.3)+0(0.15)+1(0.3)+2(0.25)=0.2$
$E(Y)=2(0.5)+4(0.5)=3$
$E(XY)=(-8)(0.1)+(-4)(0.2)+0(0.15)+2(0.1)+4(0.35)+8(0.1)=0.8$
5
相关性与独立性
▼
$E(XY)=0.8
eq E(X)E(Y)=0.2\times3=0.6$，故 $X,Y$ 相关（不是不相关）。
取反例：$P\{X=-2,Y=2\}=0.2
eq P\{X=-2\}P\{Y=2\}=0.3\times0.5=0.15$，故 $X,Y$ 不相互独立。
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