真题库 期末复习 知识点 随机一题
第11题
二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}ax^2y, & x\frac{1}{2}\}$；(5) 求概率$E(\frac{X}{1+X})$。
答案
(1) $a=15$; (2) $f_X(x)=\begin{cases}\frac{15}{2}x^2(1-x^2), & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$, $f_Y(y)=\begin{cases}5y^4, & 0<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$; (3) $f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases}\frac{2y}{1-x^2}, & x<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$; (4) $\frac{15}{62}$; (5) 见解析
联合概率密度 边缘概率密度 条件概率密度 条件概率 数学期望 二维连续型随机变量

📋 解题步骤

1
求常数$a$
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由归一化条件$\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)dxdy=1$，有 $$a\int_0^1dx\int_x^1x^2ydy=a\int_0^1x^2\cdot\frac{1-x^2}{2}dx=\frac{a}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{a}{15}=1$$ 故$a=15$。
2
边缘概率密度
▼
$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\begin{cases}\int_x^115x^2ydy=\frac{15}{2}x^2(1-x^2), & 0
3
条件概率密度
▼
当$0
4
条件概率$P\{X\le\frac{1}{2}|Y>\frac{1}{2}\}$
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$P\{X\le\frac{1}{2},Y>\frac{1}{2}\}=\int_{1/2}^1dy\int_0^{1/2}15x^2ydx=\frac{15}{64}$ $P\{Y>\frac{1}{2}\}=\int_{1/2}^15y^4dy=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$ 故$P\{X\le\frac{1}{2}|Y>\frac{1}{2}\}=\frac{15/64}{31/32}=\frac{15}{62}$。
5
期望$E(\frac{X}{1+X})$
▼
$$E\left(\frac{X}{1+X}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x}f_X(x)dx=\int_0^1\frac{x}{1+x}\cdot\frac{15}{2}x^2(1-x^2)dx$$
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