第12题
设$X\sim\pi(\lambda)$，且$E[(X-1)(X-2)]=1$，则$\lambda=$______。
答案
$\lambda=1$
📖 前置知识梳理
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题型：考查 $E(X)$ 的性质及 $E(X^2)$ 的计算。本题涉及三个核心知识点：(1)泊松分布的性质：若 $X\sim\pi(\lambda)$，则 $E(X)=\lambda$, $D(X)=\lambda$；(2)方差与二阶矩的关系：$D(X)=E(X^2)-E^2(X)$，变形得 $E(X^2)=E^2(X)+D(X)$，这是计算 $E(X^2)$ 最常用的方法；(3)期望的线性性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$。解题技巧：遇到 $E[(X-a)(X-b)]$ 型的表达式，先展开为 $E(X^2)-(a+b)E(X)+ab$，再代入 $E(X^2)=E^2(X)+D(X)$，最后利用已知分布的期望和方差求解。注意：泊松分布的参数 $\lambda>0$。
📋 解题步骤
1
泊松分布的数字特征
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因为$X\sim\pi(\lambda)$，所以$E(X)=D(X)=\lambda$，且$\lambda>0$。
2
展开并计算期望
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$E[(X-1)(X-2)]=E(X^2-3X+2)=E(X^2)-3E(X)+2=[E(X)]^2+D(X)-3E(X)+2=\lambda^2+\lambda-3\lambda+2=\lambda^2-2\lambda+2$。由题意$\lambda^2-2\lambda+2=1$，解得$\lambda=1$。
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