第13题
设随机变量$X\sim b(n,p)$，则根据切比雪夫不等式有$P\{|X-np|\ge\sqrt{n}\}\le$______。
答案
$p(1-p)$
📖 前置知识梳理
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题型：考查切比雪夫不等式。知识点：若 $E(X)$, $D(X)$ 存在，则对任意正数 $\varepsilon$，有 $P\{|X-E(X)| \ge \varepsilon\} \le \dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$。关键：确定 $\varepsilon$, $E(X)$, $D(X)$。题目中 $np$ 恰好是二项分布的期望 $E(X)$，所以 $\varepsilon = \sqrt{n}$，直接套用切比雪夫不等式即可。
📋 解题步骤
1
确定参数
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由题意知$\varepsilon=\sqrt{n}$。因为$X\sim b(n,p)$，所以期望$E(X)=np$，方差$D(X)=np(1-p)$。
2
应用切比雪夫不等式
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$P\{|X-np|\ge\sqrt{n}\}=P\{|X-E(X)|\ge\sqrt{n}\}\le\dfrac{D(X)}{(\sqrt{n})^2}=\dfrac{np(1-p)}{n}=p(1-p)$。
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