第14题
设随机变量$X,Y$不相关，且$E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3$，则$E[X(X+Y-2)]=$______。
答案
$5$
📖 前置知识梳理
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题型：考查 $X,Y$ 相关性。知识点：1. $X,Y$ 不相关 $\Longleftrightarrow$ $X,Y$ 无线性关系 $\Longleftrightarrow$ $\rho_{XY}=0$ $\Longleftrightarrow$ $\text{Cov}(X,Y)=0$ $\Longleftrightarrow$ $E(XY)=E(X)E(Y)$。2. $E(X^2) = [E(X)]^2 + D(X)$。3. 常见错误：一般情况下 $E(XY) \neq E(X)E(Y)$，只有在不相关（或独立）时才相等。本题中 $X,Y$ 不相关是核心条件，使得 $E(XY)$ 可以拆分计算。
📋 解题步骤
1
利用不相关性质
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因为$X,Y$不相关，所以$E(XY)=E(X)E(Y)=2\times1=2$。
2
展开并拆分期望
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$E[X(X+Y-2)]=E(X^2+XY-2X)=E(X^2)+E(XY)-2E(X)$。
3
利用方差公式转化
▼
由$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，得$E(X^2)=[E(X)]^2+D(X)$。代入得$E^2(X)+D(X)+E(X)E(Y)-2E(X)$。
4
代入数值求解
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将$E(X)=2,D(X)=3,E(Y)=1$代入：$2^2+3+2\cdot1-2\cdot2=4+3+2-4=5$。
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