第14题
设随机变量$X,Y$不相关，且$E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3$，则$E[X(X+Y-2)]=$______。
答案
$5$
📋 解题步骤
1
利用不相关性质
▼
因为$X,Y$不相关，所以$E(XY)=E(X)E(Y)=2\times1=2$。
2
展开并拆分期望
▼
$E[X(X+Y-2)]=E(X^2+XY-2X)=E(X^2)+E(XY)-2E(X)$。
3
利用方差公式转化
▼
由$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，得$E(X^2)=[E(X)]^2+D(X)$。代入得$E^2(X)+D(X)+E(X)E(Y)-2E(X)$。
4
代入数值求解
▼
将$E(X)=2,D(X)=3,E(Y)=1$代入：$2^2+3+2\cdot1-2\cdot2=4+3+2-4=5$。
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