第15题
某店有3种价格不同的贺卡，顾客随机选购，若对每张卡的购买行为相互独立，卖出一张贺卡的价格$X$是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.1、0.5、0.4。若一天售出了300张；
(1) 求该天的销售额在381元~399元之间的概率；
(2) 求价格为1.5元的贺卡销量多于120张的概率。（已知$\varPhi(1.5)=0.9332,\varPhi(2)=0.9772,\varPhi(3)=0.9987$）
(1) 求该天的销售额在381元~399元之间的概率；
(2) 求价格为1.5元的贺卡销量多于120张的概率。（已知$\varPhi(1.5)=0.9332,\varPhi(2)=0.9772,\varPhi(3)=0.9987$）
答案
(1) $0.9974$; (2) $0.5$
📖 前置知识梳理
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题型：中心极限定理的应用。必考、大题、重视。1. 独立同分布中心极限定理：① $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立；② $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 服从同一分布；③ $E(X_k)=\mu$, $D(X_k)=\sigma^2$ 存在。则 $\dfrac{\sum_{k=1}^{n}X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N(0,1)$。本题中300张贺卡的销售额是300个独立同分布随机变量之和，满足中心极限定理条件，可用正态分布近似计算。
📋 解题步骤
1
设定随机变量并求期望方差
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设$X_i$：第$i$张贺卡的价格，$i=1,2,3,\cdots,300$。则$X_i$的分布律为$P(X_i=1)=0.1,P(X_i=1.2)=0.5,P(X_i=1.5)=0.4$。$X_1,\cdots,X_{300}$相互独立且同分布，
$E(X_i)=1\cdot0.1+1.2\cdot0.5+1.5\cdot0.4=1.3$，
$E(X_i^2)=1^2\cdot0.1+1.2^2\cdot0.5+1.5^2\cdot0.4=1.72$，
$D(X_i)=1.72-1.3^2=0.03$。
$E(X_i)=1\cdot0.1+1.2\cdot0.5+1.5\cdot0.4=1.3$，
$E(X_i^2)=1^2\cdot0.1+1.2^2\cdot0.5+1.5^2\cdot0.4=1.72$，
$D(X_i)=1.72-1.3^2=0.03$。
2
应用中心极限定理求(1)
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由独立同分布中心极限定理，
$$\frac{\sum_{i=1}^{300}X_i-300\cdot1.3}{\sqrt{300}\cdot\sqrt{0.03}}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(0,1)$$
即$\frac{\sum X_i-390}{3}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(0,1)$。
$P\{381<\sum X_i<399\}=P\{-3<Z<3\}=2\varPhi(3)-1=0.9974$。
$$\frac{\sum_{i=1}^{300}X_i-300\cdot1.3}{\sqrt{300}\cdot\sqrt{0.03}}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(0,1)$$
即$\frac{\sum X_i-390}{3}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(0,1)$。
$P\{381<\sum X_i<399\}=P\{-3<Z<3\}=2\varPhi(3)-1=0.9974$。
3
应用中心极限定理求(2)
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设$Y$：300张中价格为1.5元的张数，则$Y\sim b(300,0.4)$。
$$\frac{Y-300\cdot0.4}{\sqrt{300\cdot0.4\cdot0.6}}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(0,1)$$
$P\{Y\ge120\}=1-P\{Y<120\}\approx1-\varPhi(0)=1-0.5=0.5$。
$$\frac{Y-300\cdot0.4}{\sqrt{300\cdot0.4\cdot0.6}}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(0,1)$$
$P\{Y\ge120\}=1-P\{Y<120\}\approx1-\varPhi(0)=1-0.5=0.5$。
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