第16题
随机地选取81人在某时刻测量某种化合物的pH值，各人测量结果为随机变量，且相互独立，并服从同一分布，其数学期望为6，方差为0.36，以$\bar{X}$表示其算术平均值。
(1) 计算$P\{5.9<\bar{X}<6.1\}$；
(2) 若换个时刻再测量一次，又得到一个平均值$\bar{Y}$（各人各次的结果皆相互独立，但都服从同一分布），计算$P\{|\bar{X}-\bar{Y}|<0.1\}$。
(1) 计算$P\{5.9<\bar{X}<6.1\}$；
(2) 若换个时刻再测量一次，又得到一个平均值$\bar{Y}$（各人各次的结果皆相互独立，但都服从同一分布），计算$P\{|\bar{X}-\bar{Y}|<0.1\}$。
答案
(1) $2\Phi(1.5)-1$; (2) $2\Phi(1.061)-1$
📖 前置知识梳理
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题型：独立同分布中心极限定理的应用。
1. 独立同分布中心极限定理的条件：① $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立；② $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 服从同一分布；③ $E(X_k)=\mu$，$D(X_k)=\sigma^2$ 存在。
结论：$\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N(0,1)$，即 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N(0,1)$，也即 $\bar{X} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. 正态分布计算：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $P\{a < X < b\} = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$。
注意：$\bar{X}$与$\bar{Y}$相互独立，因此 $D(\bar{X}-\bar{Y}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y})$（方差相加，不是相减）。
1. 独立同分布中心极限定理的条件：① $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立；② $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 服从同一分布；③ $E(X_k)=\mu$，$D(X_k)=\sigma^2$ 存在。
结论：$\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N(0,1)$，即 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N(0,1)$，也即 $\bar{X} \stackrel{\text{近似}}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. 正态分布计算：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $P\{a < X < b\} = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$。
注意：$\bar{X}$与$\bar{Y}$相互独立，因此 $D(\bar{X}-\bar{Y}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y})$（方差相加，不是相减）。
📋 解题步骤
1
确定样本均值的分布
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由题意，$n=81$，$\mu=6$，$\sigma^2=0.36$。根据独立同分布中心极限定理，
$$\bar{X}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N\left(6,\frac{0.36}{81}\right)=N\left(6,\frac{0.04}{9}\right)$$
$$\bar{X}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N\left(6,\frac{0.36}{81}\right)=N\left(6,\frac{0.04}{9}\right)$$
2
计算(1)
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$P\{5.9<\bar{X}<6.1\}=\Phi\left(\frac{6.1-6}{\sqrt{0.04/9}}\right)-\Phi\left(\frac{5.9-6}{\sqrt{0.04/9}}\right)=\Phi(1.5)-\Phi(-1.5)=2\Phi(1.5)-1$。
3
确定$\bar{X}-\bar{Y}$的分布
▼
同理$\bar{Y}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N(6,0.04/9)$，且$\bar{X}$与$\bar{Y}$独立，故
$$\bar{X}-\bar{Y}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N\left(0,\frac{0.08}{9}\right)$$
$$\bar{X}-\bar{Y}\stackrel{\text{近似}}{\sim}N\left(0,\frac{0.08}{9}\right)$$
4
计算(2)
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$P\{|\bar{X}-\bar{Y}|<0.1\}=P\left\{-0.1<\bar{X}-\bar{Y}<0.1\right\}\approx\Phi\left(\frac{0.1}{\sqrt{0.08/9}}\right)-\Phi\left(\frac{-0.1}{\sqrt{0.08/9}}\right)\approx 2\Phi(1.061)-1$。
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