第16题
随机地选取81人在某时刻测量某种化合物的pH值，各人测量结果为随机变量，且相互独立，并服从同一分布，其数学期望为6，方差为0.36，以$\bar{X}$表示其算术平均值。
(1) 计算$P\{5.9<\bar{X}<6.1\}$；
(2) 若换个时刻再测量一次，又得到一个平均值$\bar{Y}$（各人各次的结果皆相互独立，但都服从同一分布），计算$P\{|\bar{X}-\bar{Y}|<0.1\}$。
答案
(1) $2\Phi(1.5)-1$; (2) $2\Phi(1.061)-1$
📋 解题步骤
1
确定样本均值的分布
▼
由题意，$n=81$，$\mu=6$，$\sigma^2=0.36$。根据独立同分布中心极限定理，
$$\bar{X}\stackrel{近似}{\sim}N\left(6,\frac{0.36}{81}\right)=N\left(6,\frac{0.04}{9}\right)$$
2
计算(1)
▼
$P\{5.9<\bar{X}<6.1\}=\Phi\left(\frac{6.1-6}{\sqrt{0.04/9}}\right)-\Phi\left(\frac{5.9-6}{\sqrt{0.04/9}}\right)=\Phi(1.5)-\Phi(-1.5)=2\Phi(1.5)-1$。
3
确定$\bar{X}-\bar{Y}$的分布
▼
同理$\bar{Y}\stackrel{近似}{\sim}N(6,0.04/9)$，且$\bar{X}$与$\bar{Y}$独立，故
$$\bar{X}-\bar{Y}\stackrel{近似}{\sim}N\left(0,\frac{0.08}{9}\right)$$
4
计算(2)
▼
$P\{|\bar{X}-\bar{Y}|<0.1\}=P\left\{-0.1<\bar{X}-\bar{Y}<0.1\right\}\approx\Phi\left(\frac{0.1}{\sqrt{0.08/9}}\right)-\Phi\left(\frac{-0.1}{\sqrt{0.08/9}}\right)\approx 2\Phi(1.061)-1$。
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