第17题
设$X_1,X_2,\cdots,X_{32}$是来自总体$N(0,1)$的样本，统计量$Y=\sum_{k=1}^{10}X_k^2$，$Z=\dfrac{X_{16}}{\sqrt{\frac{Y}{10}}}$，$W=\dfrac{2Y}{\sum_{k=11}^{30}X_k^2}$，则$Y$服从______，$Z$服从______，$W$服从______。
答案
$Y\sim\chi^2(10)$; $Z\sim t(10)$; $W\sim F(10,20)$
📋 解题步骤
1
确定$Y$的分布
▼
由于$X_k\stackrel{iid}{\sim}N(0,1)$，根据卡方分布定义，$Y=\sum_{k=1}^{10}X_k^2\sim\chi^2(10)$。
2
确定$Z$的分布
▼
$X_{16}\sim N(0,1)$且与$Y$独立，故
$$Z=\frac{X_{16}}{\sqrt{Y/10}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(10)/10}}\sim t(10)$$
3
确定$W$的分布
▼
$\sum_{k=11}^{30}X_k^2\sim\chi^2(20)$且与$Y$独立，故
$$W=\frac{2Y}{\sum_{k=11}^{30}X_k^2}=\frac{\chi^2(10)/10}{\chi^2(20)/20}\sim F(10,20)$$
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