第17题
设$X_1,X_2,\cdots,X_{32}$是来自总体$N(0,1)$的样本，统计量$Y=\sum_{k=1}^{10}X_k^2$，$Z=\dfrac{X_{16}}{\sqrt{\frac{Y}{10}}}$，$W=\dfrac{2Y}{\sum_{k=11}^{30}X_k^2}$，则$Y$服从______，$Z$服从______，$W$服从______。
答案
$Y\sim\chi^2(10)$; $Z\sim t(10)$; $W\sim F(10,20)$
📖 前置知识梳理
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题型：考查三大分布——$\chi^2$分布、t分布、F分布。方法：用定义判断。
1. $\chi^2$分布定义：设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，且均服从 $N(0,1)$，则 $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$。
2. t分布定义：若 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X, Y$ 独立，则 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$。
3. F分布定义：若 $X \sim \chi^2(n)$，$Y \sim \chi^2(m)$，且 $X, Y$ 独立，则 $\frac{X/n}{Y/m} \sim F(n,m)$。
关键注意点：判断t分布时，分母必须是$\sqrt{\chi^2(n)/n}$的形式；判断F分布时，需要分别除以各自的自由度。$\sum_{k=11}^{30} X_k^2$共有20个平方项（从11到30），所以自由度为20。
1. $\chi^2$分布定义：设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，且均服从 $N(0,1)$，则 $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$。
2. t分布定义：若 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X, Y$ 独立，则 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$。
3. F分布定义：若 $X \sim \chi^2(n)$，$Y \sim \chi^2(m)$，且 $X, Y$ 独立，则 $\frac{X/n}{Y/m} \sim F(n,m)$。
关键注意点：判断t分布时，分母必须是$\sqrt{\chi^2(n)/n}$的形式；判断F分布时，需要分别除以各自的自由度。$\sum_{k=11}^{30} X_k^2$共有20个平方项（从11到30），所以自由度为20。
📋 解题步骤
1
确定$Y$的分布
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由于$X_k\stackrel{iid}{\sim}N(0,1)$，根据卡方分布定义，$Y=\sum_{k=1}^{10}X_k^2\sim\chi^2(10)$。
2
确定$Z$的分布
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$X_{16}\sim N(0,1)$且与$Y$独立，故
$$Z=\frac{X_{16}}{\sqrt{Y/10}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(10)/10}}\sim t(10)$$
$$Z=\frac{X_{16}}{\sqrt{Y/10}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(10)/10}}\sim t(10)$$
3
确定$W$的分布
▼
$\sum_{k=11}^{30}X_k^2\sim\chi^2(20)$且与$Y$独立，故
$$W=\frac{2Y}{\sum_{k=11}^{30}X_k^2}=\frac{\chi^2(10)/10}{\chi^2(20)/20}\sim F(10,20)$$
$$W=\frac{2Y}{\sum_{k=11}^{30}X_k^2}=\frac{\chi^2(10)/10}{\chi^2(20)/20}\sim F(10,20)$$
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