第18题
在总体$N(62.6,16)$中随机抽取容量为25的样本，$X_1,X_2,\cdots,X_{25}$，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{25}\sum_{k=1}^{25}X_k$；
(1) 求$\bar{X}$的概率密度函数；
(2) 求$\bar{X}$落在61.4与63.8之间的概率；
(3) 求概率$P\{\max\limits_{1\le k\le25}\{X_k\}>68\}$；$P\{\min\limits_{1\le k\le25}\{X_k\}\le68\}$；
(4) 若$S^2=\frac{1}{24}\sum_{k=1}^{25}(X_k-\bar{X})^2$，求$E(S^2)-D(\frac{5}{2}\bar{X})$。
(1) 求$\bar{X}$的概率密度函数；
(2) 求$\bar{X}$落在61.4与63.8之间的概率；
(3) 求概率$P\{\max\limits_{1\le k\le25}\{X_k\}>68\}$；$P\{\min\limits_{1\le k\le25}\{X_k\}\le68\}$；
(4) 若$S^2=\frac{1}{24}\sum_{k=1}^{25}(X_k-\bar{X})^2$，求$E(S^2)-D(\frac{5}{2}\bar{X})$。
答案
(1) $f_{\bar{X}}(x)=\frac{5}{4\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{25(x-62.6)^2}{32}}$; (2) $2\Phi(1.5)-1$; (3) $1-[\Phi(1.35)]^{25}$, $1-[1-\Phi(1.35)]^{25}$; (4) $12$
📖 前置知识梳理
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题型：考查正态总体样本均值、样本方差的分布。
知识点总结：已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则
(1) $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，$E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$；
(2) $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，则 $E(S^2) = D(X) = \sigma^2$；
(3) 极值分布：$P\{\max_{1 \leq k \leq 25} \{X_k\} \leq x\} = [F(x)]^{25}$，$P\{\min_{1 \leq k \leq 25} \{X_k\} \leq x\} = 1 - [1 - F(x)]^{25}$；
其中 $F(x)$ 是 $N(\mu, \sigma^2)$ 的分布函数，$F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$。
注意：求最大值大于某数的概率时，转化为 $1 - P\{\max \leq x\}$；求最小值小于等于某数的概率时，利用对立事件转化。
知识点总结：已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则
(1) $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，$E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$；
(2) $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，则 $E(S^2) = D(X) = \sigma^2$；
(3) 极值分布：$P\{\max_{1 \leq k \leq 25} \{X_k\} \leq x\} = [F(x)]^{25}$，$P\{\min_{1 \leq k \leq 25} \{X_k\} \leq x\} = 1 - [1 - F(x)]^{25}$；
其中 $F(x)$ 是 $N(\mu, \sigma^2)$ 的分布函数，$F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$。
注意：求最大值大于某数的概率时，转化为 $1 - P\{\max \leq x\}$；求最小值小于等于某数的概率时，利用对立事件转化。
📋 解题步骤
1
$\bar{X}$的分布与密度
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因为$X\sim N(62.6,16)$，所以$\bar{X}\sim N(62.6,\frac{16}{25})$，即$\bar{X}\sim N(62.6,0.64)$。其概率密度函数为
$$f_{\bar{X}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\frac{4}{5}}e^{-\frac{(x-62.6)^2}{2\cdot\frac{16}{25}}},\quad x\in\mathbb{R}$$
$$f_{\bar{X}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\frac{4}{5}}e^{-\frac{(x-62.6)^2}{2\cdot\frac{16}{25}}},\quad x\in\mathbb{R}$$
2
计算(2)
▼
$P\{61.4<\bar{X}<63.8\}=\Phi\left(\frac{63.8-62.6}{4/5}\right)-\Phi\left(\frac{61.4-62.6}{4/5}\right)=2\Phi(1.5)-1$。
3
计算(3)最大值概率
▼
$P\{\max X_k>68\}=1-[F(68)]^{25}=1-\left[\Phi\left(\frac{68-62.6}{4}\right)\right]^{25}=1-[\Phi(1.35)]^{25}$。
4
计算(3)最小值概率
▼
$P\{\min X_k\le68\}=1-[1-F(68)]^{25}=1-[1-\Phi(1.35)]^{25}$。
5
计算(4)
▼
$E(S^2)=\sigma^2=16$，$D(\frac{5}{2}\bar{X})=(\frac{5}{2})^2D(\bar{X})=\frac{25}{4}\cdot\frac{16}{25}=4$，故$E(S^2)-D(\frac{5}{2}\bar{X})=16-4=12$。
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