考研 期末复习 课程 随机一题
← 高等数学（下） 列表
第3题
求微分方程 $yy''+(y')^2=0$ 满足初始条件 $y(0)=1, y'(0)=\dfrac{1}{2}$ 的特解。
答案
$y=\sqrt{x+1}$
可降阶的高阶微分方程 二阶微分方程 特解 分离变量法
📖 前置知识梳理 ▼
可降阶的高阶微分方程有三种类型：(1) $y^{(n)} = f(x)$ 型，直接逐次积分；(2) $y'' = f(x, y')$ 型，令 $y' = p$，则 $y'' = p'$，降为一阶方程；(3) $y'' = f(y, y')$ 型，令 $y' = p$，则 $y'' = p' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \cdot \frac{dp}{dy}$，这是关键变换。本题属于第三种类型，方程中不显含 $x$，因此使用 $y'' = p \cdot \frac{dp}{dy}$ 进行降阶。注意在求解过程中要利用初值条件确定常数。

📋 解题步骤

1
变量替换降阶
▼
令$y'=p$，则$y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\cdot\dfrac{dp}{dy}$。代入原方程得
$$y\cdot p\frac{dp}{dy}+p^2=0,$$
即$y\cdot\dfrac{dp}{dy}+p=0$。
2
分离变量求$p$与$y$的关系
▼
$$\frac{dp}{p}=-\frac{1}{y}dy \Rightarrow \ln|p|=-\ln|y|+\ln C_1$$
$$\Rightarrow \ln|py|=\ln C_1 \Rightarrow py=C_1 \Rightarrow y'\cdot y=C_1.$$
3
利用初始条件求$C_1$
▼
由$y(0)=1, y'(0)=\dfrac{1}{2}$得$C_1=\dfrac{1}{2}$，即
$$y\cdot y'=\frac{1}{2}.$$
4
求解$y$
▼
$$ydy=\frac{1}{2}dx \Rightarrow y^2=x+C_2.$$
5
利用初始条件求$C_2$
▼
由$y(0)=1$得$C_2=1$，故
$$y^2=x+1.$$
因$y(0)=1>0$，故特解为
$$y=\sqrt{x+1}.$$
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
← 上一题 下一题 →
💬 问答记录

加载中...