第3题
求微分方程 $yy''+(y')^2=0$ 满足初始条件 $y(0)=1, y'(0)=\dfrac{1}{2}$ 的特解。
答案
$y=\sqrt{x+1}$
📋 解题步骤
1
变量替换降阶
▼
令$y'=p$，则$y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\cdot\dfrac{dp}{dy}$。代入原方程得
$$y\cdot p\frac{dp}{dy}+p^2=0,$$
即$y\cdot\dfrac{dp}{dy}+p=0$。
2
分离变量求$p$与$y$的关系
▼
$$\frac{dp}{p}=-\frac{1}{y}dy \Rightarrow \ln|p|=-\ln|y|+\ln C_1$$
$$\Rightarrow \ln|py|=\ln C_1 \Rightarrow py=C_1 \Rightarrow y'\cdot y=C_1.$$
3
利用初始条件求$C_1$
▼
由$y(0)=1, y'(0)=\dfrac{1}{2}$得$C_1=\dfrac{1}{2}$，即
$$y\cdot y'=\frac{1}{2}.$$
4
求解$y$
▼
$$ydy=\frac{1}{2}dx \Rightarrow y^2=x+C_2.$$
5
利用初始条件求$C_2$
▼
由$y(0)=1$得$C_2=1$，故
$$y^2=x+1.$$
因$y(0)=1>0$，故特解为
$$y=\sqrt{x+1}.$$
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