第2题
设$A,B$均为$n$阶矩阵，且$A^2=E, B^2=E, |A|+|B|=0$，证明：$|A+B|=0$。
答案
$|A+B|=0$
📖 前置知识梳理
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本题证明的关键技巧是构造 A(A+B) 和 (A+B)B 并发现它们相等。核心思路：利用已知条件 A^2=E 和 B^2=E，通过展开发现 A(A+B) = (A+B)B = E+AB，然后两边取行列式，结合 |A|+|B|=0 的条件，推导出 |A+B|=0。注意：由 A^2=E 可知 A 可逆（|A|=±1≠0），这是最后一步能够约去 |A| 的关键。
📋 解题步骤
1
展开并比较
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$A(A+B)=A^2+AB=E+AB$,（$A+B$）$B=AB+B^2=E+AB$。
因此$A(A+B)=(A+B)B$。
因此$A(A+B)=(A+B)B$。
2
两边取行列式
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对等式两边取行列式，得
$$|A|\cdot|A+B|=|A+B|\cdot|B|.$$
$$|A|\cdot|A+B|=|A+B|\cdot|B|.$$
3
整理等式
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移项并提取公因式得
$$\bigl(|A|-|B|\bigr)|A+B|=0.$$
$$\bigl(|A|-|B|\bigr)|A+B|=0.$$
4
利用已知条件代入
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由已知$|A|+|B|=0$，得$|A|=-|B|$。代入上式得
$$\bigl(|A|-(-|A|)\bigr)|A+B|=2|A|\cdot|A+B|=0.$$
$$\bigl(|A|-(-|A|)\bigr)|A+B|=2|A|\cdot|A+B|=0.$$
5
得出结论
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因$A^2=E$，故$|A|^2=|A^2|=|E|=1$，从而$|A|\neq0$。
由$2|A|\cdot|A+B|=0$可得$|A+B|=0$。
由$2|A|\cdot|A+B|=0$可得$|A+B|=0$。
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