第3题 - - 数学强国

数学强国

真题库期末复习知识点随机一题

第3题

若$\alpha_1=(1,0,2)^T, \alpha_2=(1,1,3)^T, \alpha_3=(1,-1,a+2)^T$; $\beta_1=(1,2,a+3)^T, \beta_2=(2,1,a+6)^T, \beta_3=(2,1,a+4)^T$。向量组$A=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}, B=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$。(1) $a$为何值时，向量组$A$与$B$等价；(2) $a$为何值时，向量组$A$与$B$不等价。

答案

等价：$a eq-1$；不等价：$a=-1$。

向量组等价矩阵的秩初等行变换行列式线性表示

📋 解题步骤

方法一：联合矩阵法

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构造$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，行变换化为 $$\begin{pmatrix}1&1&1&1&2&2\\0&1&-1&2&1&1\\0&0&a+1&a-1&a+1&a-1\end{pmatrix}.$$ 若$a+1 eq0$，则$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$；若$a=-1$，则$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2

验证$R(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$

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对$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$行变换化简得$R(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$，与$a$无关。故当$a eq-1$时，$R(A)=R(B)=R(A,B)=3$，两向量组等价；当$a=-1$时，$R(A)=2

方法二：行列式法

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$|\beta_1,\beta_2,\beta_3|=6 eq0$，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$始终可线性表示$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$。又$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=a+1$，当$a eq-1$时$\alpha$也可表示$\beta$，等价；当$a=-1$时不可表示，不等价。

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