第3题
若$\alpha_1=(1,0,2)^T, \alpha_2=(1,1,3)^T, \alpha_3=(1,-1,a+2)^T$;
$\beta_1=(1,2,a+3)^T, \beta_2=(2,1,a+6)^T, \beta_3=(2,1,a+4)^T$。向量组$A=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}, B=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$。(1) $a$为何值时，向量组$A$与$B$等价；(2) $a$为何值时，向量组$A$与$B$不等价。
$\beta_1=(1,2,a+3)^T, \beta_2=(2,1,a+6)^T, \beta_3=(2,1,a+4)^T$。向量组$A=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}, B=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$。(1) $a$为何值时，向量组$A$与$B$等价；(2) $a$为何值时，向量组$A$与$B$不等价。
答案
等价：$a\neq-1$；不等价：$a=-1$。
📖 前置知识梳理
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向量组等价的判定定理：两个向量组等价的充要条件是 R(I) = R(II) = R(I, II)，即两个向量组的秩相等且等于它们合并后的秩。方法一通过构造联合矩阵一次性求出三个秩，是最直接的方法。方法二通过分别计算两个向量组的行列式来判断线性无关性，进而判断能否互相线性表示。注意：当 a = -1 时，$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ 的秩为2，而合并后的秩为3，不满足等价条件。
📋 解题步骤
1
方法一：联合矩阵法
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构造$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，行变换化为
$$\begin{pmatrix}1&1&1&1&2&2\\0&1&-1&2&1&1\\0&0&a+1&a-1&a+1&a-1\end{pmatrix}.$$
若$a+1\neq0$，则$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$；
若$a=-1$，则$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2<R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$。
$$\begin{pmatrix}1&1&1&1&2&2\\0&1&-1&2&1&1\\0&0&a+1&a-1&a+1&a-1\end{pmatrix}.$$
若$a+1\neq0$，则$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$；
若$a=-1$，则$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2<R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$。
2
验证$R(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$
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对$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$行变换化简得$R(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3$，与$a$无关。
故当$a\neq-1$时，$R
(A)=R(B)=R(A,B)=3$，两向量组等价；
当$a=-1$时，$R(A)=2<R(A,B)=3$，不等价。
故当$a\neq-1$时，$R
(A)=R(B)=R(A,B)=3$，两向量组等价；
当$a=-1$时，$R(A)=2<R(A,B)=3$，不等价。
3
方法二：行列式法
▼
$|\beta_1,\beta_2,\beta_3|=6\neq0$，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$始终可线性表示$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$。
又$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=a+1$，当$a\neq-1$时$\alpha$也可表示$\beta$，等价；当$a=-1$时不可表示，不等价。
又$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=a+1$，当$a\neq-1$时$\alpha$也可表示$\beta$，等价；当$a=-1$时不可表示，不等价。
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