第3题
设行列式
$$D=\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix},$$
求：
\(1\) $3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}$；
\(2\) $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$；
\(3\) $M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$。
答案
\(1\) $0$；\(2\) $4$；\(3\) $0$
📋 解题步骤
1
第1小问
▼
$3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}$的系数$(3,-5,2,1)$恰为第1行元素。根据行列式展开性质的推论：用某行元素乘另一行对应代数余子式之和等于0，故
$$3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}=0.$$
2
第2小问
▼
$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$等于将原行列式第1行换为$(1,1,1,1)$后按第1行展开的值。
计算得结果为$4$。
3
第3小问
▼
余子式与代数余子式的关系：
$$M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}.$$
故$M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}$。
这相当于将原行列式第1列换为$(1,-1,1,-1)^T$后按第1列展开的值。
计算得结果为$0$。
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