考研 期末复习 课程 随机一题
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第3题
设行列式
$$D=\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix},$$
求：
\(1\) $3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}$；
\(2\) $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$；
\(3\) $M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$。
答案
\(1\) $0$；\(2\) $4$；\(3\) $0$
行列式展开 代数余子式 余子式 行列式的性质
📖 前置知识梳理 ▼
行列式按行（列）展开定理的核心内容：(1) 余子式 $M_{ij}$ 是去掉第i行第j列后的子行列式；(2) 代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$；(3) 自己行元素乘自己行的代数余子式之和等于行列式 $D$；(4) 自己行元素乘其余行的代数余子式之和等于0。对于求某行代数余子式线性组合的问题，可将系数作为新行（列）替换原行列式对应行（列）后求值。注意区分余子式与代数余子式的符号关系。

📋 解题步骤

1
第1小问
▼
$3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}$的系数$(3,-5,2,1)$恰为第1行元素。根据行列式展开性质的推论：用某行元素乘另一行对应代数余子式之和等于0，故
$$3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}=0.$$
2
第2小问
▼
$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$等于将原行列式第1行换为$(1,1,1,1)$后按第1行展开的值。
计算得结果为$4$。
3
第3小问
▼
余子式与代数余子式的关系：
$$M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}.$$
故$M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}$。
这相当于将原行列式第1列换为$(1,-1,1,-1)^T$后按第1列展开的值。
计算得结果为$0$。
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