第4题
设四阶方阵$B$的伴随矩阵$B^*=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&-3&0&8\end{pmatrix}$，且$BAB^{-1}=AB^{-1}+3E$，其中$E$为四阶单位阵，求矩阵$A$。
答案
$A=\begin{pmatrix}6&0&0&0\\0&6&0&0\\6&0&6&0\\0&3&0&-1\end{pmatrix}$
📖 前置知识梳理
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本题是解矩阵方程的典型问题。关键技巧：1) 遇到含 $B^{-1}$ 的方程，先通过乘 $B$ 化简；2) 当已知 $B^*$ 而非 $B$ 时，利用性质 $B^*B = |B|E$ 消去 $B$；3) 由 $|B^*| = |B|^{n-1}$ 求出 $|B|$；4) 将方程化为 $(2E-B^*)A = 6E$ 的标准形式，再求逆矩阵。注意：分块下三角矩阵的逆矩阵可以直接分块求逆，右下角 $2\times2$ 块 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -6 \end{pmatrix}$ 的逆为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}$。
📋 解题步骤
1
化简矩阵方程
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展开$BAB^{-1}=AB^{-1}+3E$，两边右乘$B$得
$$BA=A+3B,\quad \text{即}\quad (B-E)A=3B.$$
$$BA=A+3B,\quad \text{即}\quad (B-E)A=3B.$$
2
利用伴随矩阵消去$B$
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左乘$B^*$，利用$B^*B=BB^*=|B|E$得
$$|B|A=B^*A+3|B|E.$$
$$|B|A=B^*A+3|B|E.$$
3
计算$|B|$
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由$|B^*|=|B|^{n-1}=|B|^3$，计算$|B^*|=8$，故$|B|=2$。
4
建立并求解$A$
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代入$|B|=2$得$2A=B^*A+6E$，即$(2E-B^*)A=6E$。
$$\therefore A=6(2E-B^*)^{-1}.$$
$$\therefore A=6(2E-B^*)^{-1}.$$
5
求$(2E-B^*)^{-1}$
▼
$2E-B^*=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&3&0&-6\end{pmatrix}$，求逆得
$$(2E-B^*)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&\dfrac{1}{2}&0&-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.$$
$$(2E-B^*)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&\dfrac{1}{2}&0&-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.$$
6
计算$A$
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$$A=6(2E-B^*)^{-1}=\begin{pmatrix}6&0&0&0\\0&6&0&0\\6&0&6&0\\0&3&0&-1\end{pmatrix}.$$
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