第4题
计算行列式
$$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\5&4&3&2\end{vmatrix}.$$
$$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\5&4&3&2\end{vmatrix}.$$
答案
$-72$
📖 前置知识梳理
▼
范德蒙行列式的标准形式为 $$V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$ 解题关键是识别范德蒙结构，注意：(1) 第一行必须全为1；(2) 各列呈等比数列；(3) 行交换会改变符号。本题通过提取公因子和行交换将非标准形式转化为标准范德蒙行列式。
📋 解题步骤
1
行变换与提取公因子
▼
将第1行加到第4行，即$r_4+r_1$：
$$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\6&6&6&6\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\1&1&1&1\end{vmatrix}.$$
$$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\6&6&6&6\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\1&1&1&1\end{vmatrix}.$$
2
行交换化为范德蒙德行列式
▼
通过三次行交换将第4行逐步换至第1行：$r_4\leftrightarrow r_3,r_3\leftrightarrow r_2,r_2\leftrightarrow r_1$。
每次交换改变行列式符号，三次交换后符号为$(-1)^3=-1$，故
$$D=-6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\end{vmatrix}.$$
这是范德蒙德行列式，其中$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。
每次交换改变行列式符号，三次交换后符号为$(-1)^3=-1$，故
$$D=-6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\end{vmatrix}.$$
这是范德蒙德行列式，其中$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。
3
应用范德蒙德公式计算
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范德蒙德行列式公式：
$$V=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$
代入得
$$\begin{aligned}D&=-6\cdot(4-1)(4-2)(4-3)(3-1)(3-2)(2-1)\\&=-6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot1\\&=-72.\end{aligned}$$
$$V=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$
代入得
$$\begin{aligned}D&=-6\cdot(4-1)(4-2)(4-3)(3-1)(3-2)(2-1)\\&=-6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot1\\&=-72.\end{aligned}$$
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