将第1行加到第4行，即$r_4+r_1$： $$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\6&6&6&6\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\\1&1&1&1\end{vmatrix}.$$

通过三次行交换将第4行逐步换至第1行：$r_4\leftrightarrow r_3,r_3\leftrightarrow r_2,r_2\leftrightarrow r_1$。 每次交换改变行列式符号，三次交换后符号为$(-1)^3=-1$，故 $$D=-6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1^2&2^2&3^2&4^2\\1^3&2^3&3^3&4^3\end{vmatrix}.$$ 这是范德蒙德行列式，其中$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。

范德蒙德行列式公式： $$V=\prod_{1\le i ⚠️ 卡在这步 👆 收起