第5题
已知4阶矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$的秩$R(A)=3$，且$A_{11}
eq0$，求齐次线性方程组$A^*x=0$的通解。
答案
$x=k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4\ (k_2,k_3,k_4\in\mathbb{R})$。
📋 解题步骤
1
确定$A^*$的秩
▼
因$A$为4阶且$R(A)=3$，故$R(A^*)=1$。
$A^*x=0$的基础解系含$4-R(A^*)=3$个线性无关解向量。
2
利用$A^*A=|A|E$
▼
由$R(A)=3<4$知$|A|=0$，故$A^*A=|A|E=0$。
这意味着$A$的每一列$\alpha_i$都满足$A^*\alpha_i=0$，即各列均为$A^*x=0$的解。
3
判断$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$的线性无关性
▼
$A_{11}
eq0$意味着去掉第1行第1列后的3阶子式
$$\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}
eq0,$$
故$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，可作为$A^*x=0$的基础解系。
4
写出通解
▼
$$x=k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4,\quad k_2,k_3,k_4\in\mathbb{R}.$$
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