第5题
已知4阶矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$的秩$R
(A)=3$，且$A_{11}\neq0$，求齐次线性方程组$A^*x=0$的通解。
(A)=3$，且$A_{11}\neq0$，求齐次线性方程组$A^*x=0$的通解。
答案
$x=k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4\ (k_2,k_3,k_4\in\mathbb{R})$。
📖 前置知识梳理
▼
本题是抽象方程组求通解的经典问题。核心思路：1) 由 R
(A)=n-1 确定 R(A^*)=1；2) 由 A^*A=|A|E=0 知A的列向量都是 A^*x=0 的解；3) 利用 A_{11}≠0 判断 A 的后三列线性无关（因为 A_{11} 对应的余子式非零，缩短向量组无关则原向量组无关）；4) 后三列恰好构成基础解系。关键知识点：伴随矩阵秩的公式、A^*A=|A|E、缩短向量组的线性无关性（无关的向量组增加分量仍无关）。
(A)=n-1 确定 R(A^*)=1；2) 由 A^*A=|A|E=0 知A的列向量都是 A^*x=0 的解；3) 利用 A_{11}≠0 判断 A 的后三列线性无关（因为 A_{11} 对应的余子式非零，缩短向量组无关则原向量组无关）；4) 后三列恰好构成基础解系。关键知识点：伴随矩阵秩的公式、A^*A=|A|E、缩短向量组的线性无关性（无关的向量组增加分量仍无关）。
📋 解题步骤
1
确定$A^*$的秩
▼
因$A$为4阶且$R(A)=3$，故$R(A^*)=1$。
$A^*x=0$的基础解系含$4-R(A^*)=3$个线性无关解向量。
$A^*x=0$的基础解系含$4-R(A^*)=3$个线性无关解向量。
2
利用$A^*A=|A|E$
▼
由$R(A)=3<4$知$|A|=0$，故$A^*A=|A|E=0$。
这意味着$A$的每一列$\alpha_i$都满足$A^*\alpha_i=0$，即各列均为$A^*x=0$的解。
这意味着$A$的每一列$\alpha_i$都满足$A^*\alpha_i=0$，即各列均为$A^*x=0$的解。
3
判断$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$的线性无关性
▼
$A_{11}\neq0$意味着去掉第1行第1列后的3阶子式
$$\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\neq0,$$
故$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，可作为$A^*x=0$的基础解系。
$$\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\neq0,$$
故$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，可作为$A^*x=0$的基础解系。
4
写出通解
▼
$$x=k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4,\quad k_2,k_3,k_4\in\mathbb{R}.$$
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...