第5题
设$\alpha=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix},\beta=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$，求$\alpha^T\beta,\alpha\beta^T,R(\alpha\beta^T),(\alpha\beta^T)^{100}$。
答案
$\alpha^T\beta=10$; $\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}3&2&1\\9&6&3\\3&2&1\end{pmatrix}$; $R(\alpha\beta^T)=1$; $(\alpha\beta^T)^{100}=10^{99}\begin{pmatrix}3&2&1\\9&6&3\\3&2&1\end{pmatrix}$
📖 前置知识梳理
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本题核心在于区分 $\alpha^T \beta$（内积，标量）与 $\alpha \beta^T$（外积，矩阵）的本质区别。关键技巧：(1) 对于秩为1的矩阵 $A = \alpha \beta^T$，有 $A^n = (\beta^T \alpha)^{n-1} A$；(2) 矩阵秩的性质 $R(AB) \le \min\{R
(A), R(B)\}$；(3) 非零矩阵的秩至少为1。特别注意：列向量乘行向量得到矩阵，行向量乘列向量得到标量，这是矩阵乘法中极易混淆的地方。
(A), R(B)\}$；(3) 非零矩阵的秩至少为1。特别注意：列向量乘行向量得到矩阵，行向量乘列向量得到标量，这是矩阵乘法中极易混淆的地方。
📋 解题步骤
1
计算$\alpha^T\beta$
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$$\alpha^T\beta=(1\quad3\quad1)\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=1\times3+3\times2+1\times1=10.$$
2
计算$\alpha\beta^T$
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$$\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}(3\quad2\quad1)=\begin{pmatrix}3&2&1\\9&6&3\\3&2&1\end{pmatrix}.$$
3
计算$R(\alpha\beta^T)$
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因为$R(AB)\le\min\{R(A),R(B)\}$，敏
$$R(\alpha\beta^T)\le\min\{R(\alpha),R(\beta^T)\}=1.$$
又$\alpha\beta^T\neq O$，故$R(\alpha\beta^T)\ge1$，从而$R(\alpha\beta^T)=1$。
$$R(\alpha\beta^T)\le\min\{R(\alpha),R(\beta^T)\}=1.$$
又$\alpha\beta^T\neq O$，故$R(\alpha\beta^T)\ge1$，从而$R(\alpha\beta^T)=1$。
4
计算$(\alpha\beta^T)^{100}$
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利用结合律重新组合：
$$(\alpha\beta^T)^{100}=\underbrace{\alpha\beta^T\alpha\beta^T\cdots\alpha\beta^T}_{100\text{个}}=\alpha(\underbrace{\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)\cdots(\beta^T\alpha}_{99\text{个}})\beta^T.$$
因$\beta^T\alpha=\alpha^T\beta=10$，故
$$(\alpha\beta^T)^{100}=10^{99}\alpha\beta^T=10^{99}\begin{pmatrix}3&2&1\\9&6&3\\3&2&1\end{pmatrix}.$$
$$(\alpha\beta^T)^{100}=\underbrace{\alpha\beta^T\alpha\beta^T\cdots\alpha\beta^T}_{100\text{个}}=\alpha(\underbrace{\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)\cdots(\beta^T\alpha}_{99\text{个}})\beta^T.$$
因$\beta^T\alpha=\alpha^T\beta=10$，故
$$(\alpha\beta^T)^{100}=10^{99}\alpha\beta^T=10^{99}\begin{pmatrix}3&2&1\\9&6&3\\3&2&1\end{pmatrix}.$$
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