第6题
设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-2&3&-4\\0&1&-1&1\\1&2&0&-3\end{pmatrix}$，$E$为三阶单位阵。(1) 求方程组$AX=0$的一个基础解系；(2) 求满足$AB=E$的所有矩阵$B$。
答案
(1) 基础解系为$\xi=(-1,2,3,1)^T$；(2) $B=\begin{pmatrix}2-k_1&6-k_2&-1-k_3\\-1+2k_1&-3+2k_2&1+2k_3\\-1+3k_1&-4+3k_2&1+3k_3\\k_1&k_2&k_3\end{pmatrix}$ ($k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}$)。
📖 前置知识梳理
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本题考查矩阵方程 $AX = B$ 的求解。核心方法是将 $(A \mid
B)$ 进行初等行变换化为行最简形。对于矩阵方程 $AB = E$，由于 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$R(A) = 3$，所以 $AX = 0$ 的基础解系含 $4 - 3 = 1$ 个向量。求 $B$ 的每一列相当于解三个非齐次线性方程组 $AX = \beta_i$，通解 = 特解 + 齐次通解。易错点：注意 $A$ 不是方阵，不能用逆矩阵法；必须通过增广矩阵的行变换求解。
B)$ 进行初等行变换化为行最简形。对于矩阵方程 $AB = E$，由于 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$R(A) = 3$，所以 $AX = 0$ 的基础解系含 $4 - 3 = 1$ 个向量。求 $B$ 的每一列相当于解三个非齐次线性方程组 $AX = \beta_i$，通解 = 特解 + 齐次通解。易错点：注意 $A$ 不是方阵，不能用逆矩阵法；必须通过增广矩阵的行变换求解。
📋 解题步骤
1
增广矩阵行变换
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对$(A|E)$作初等行变换：
$$\begin{pmatrix}1&-2&3&-4&1&0&0\\0&1&-1&1&0&1&0\\1&2&0&-3&0&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&-2&3&-4&1&0&0\\0&1&-1&1&0&1&0\\0&4&-3&1&-1&0&1\end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow[r_3-4r_2]{r_1+2r_2}\begin{pmatrix}1&0&1&-2&1&2&0\\0&1&-1&1&0&1&0\\0&0&1&-3&-1&-4&1\end{pmatrix}\xrightarrow[r_2+r_3]{r_1-r_3}\begin{pmatrix}1&0&0&1&2&6&-1\\0&1&0&-2&-1&-3&1\\0&0&1&-3&-1&-4&1\end{pmatrix}.$$
$$\begin{pmatrix}1&-2&3&-4&1&0&0\\0&1&-1&1&0&1&0\\1&2&0&-3&0&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&-2&3&-4&1&0&0\\0&1&-1&1&0&1&0\\0&4&-3&1&-1&0&1\end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow[r_3-4r_2]{r_1+2r_2}\begin{pmatrix}1&0&1&-2&1&2&0\\0&1&-1&1&0&1&0\\0&0&1&-3&-1&-4&1\end{pmatrix}\xrightarrow[r_2+r_3]{r_1-r_3}\begin{pmatrix}1&0&0&1&2&6&-1\\0&1&0&-2&-1&-3&1\\0&0&1&-3&-1&-4&1\end{pmatrix}.$$
2
基础解系
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由行最简形得$AX=0$的同解方程组：
$$\begin{cases}x_1+x_4=0\\x_2-2x_4=0\\x_3-3x_4=0\end{cases}$$
令$x_4=1$，得基础解系
$$\xi=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\\1\end{pmatrix}.$$
$$\begin{cases}x_1+x_4=0\\x_2-2x_4=0\\x_3-3x_4=0\end{cases}$$
令$x_4=1$，得基础解系
$$\xi=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\\1\end{pmatrix}.$$
3
求满足$AB=E$的矩阵$B$
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将$E$分为三列$\beta_1,\beta_2,\beta_3$，分别解$AX=e_j$。
由行最简形右侧得特解：
$$\beta_1=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\\0\end{pmatrix}+k_1\xi,\ \beta_2=\begin{pmatrix}6\\-3\\-4\\0\end{pmatrix}+k_2\xi,\ \beta_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+k_3\xi.$$
因此
$$B=\begin{pmatrix}2-k_1&6-k_2&-1-k_3\\-1+2k_1&-3+2k_2&1+2k_3\\-1+3k_1&-4+3k_2&1+3k_3\\k_1&k_2&k_3\end{pmatrix},\quad k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}.$$
由行最简形右侧得特解：
$$\beta_1=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\\0\end{pmatrix}+k_1\xi,\ \beta_2=\begin{pmatrix}6\\-3\\-4\\0\end{pmatrix}+k_2\xi,\ \beta_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+k_3\xi.$$
因此
$$B=\begin{pmatrix}2-k_1&6-k_2&-1-k_3\\-1+2k_1&-3+2k_2&1+2k_3\\-1+3k_1&-4+3k_2&1+3k_3\\k_1&k_2&k_3\end{pmatrix},\quad k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}.$$
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