第6题
已知$A$为$3$阶方阵，$B$为$4$阶方阵，且$|A|=4,|B|=2$，求$|A^T|,|A^{-1}|,|-|A|B|,|A^{-1}B|,|(2A)^{-1}-3A^*|$。
答案
$|A^T|=4$; $|A^{-1}|=\dfrac{1}{4}$; $|-|A|B|=512$; $|A^{-1}B|=\dfrac{1}{2}$; $|(2A)^{-1}-3A^*|= -\dfrac{12167}{32}$
📖 前置知识梳理
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知识点：方阵的行列式。重要公式（黄色高亮标注）：(1) $|A^T|=|A|$；(2) $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$；(3) $|kA|=k^n|A|$（n阶方阵）；(4) $|A\cdot B|=|A|\cdot|B|$；(5) $A^*=|A|\cdot A^{-1}\Leftrightarrow A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$。老师特别强调$|kA|=k^n|A|$这个公式，即数乘矩阵的行列式等于这个数的n次方乘以原矩阵的行列式，n是矩阵的阶数。在计算$||A|\cdot B|$时，$|A|$是一个数，乘以矩阵B相当于数乘矩阵，所以提取出来要带上4次方。
📋 解题步骤
1
$|A^T|$
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由转置行列式不变性质，$|A^T|=|A|=4$。
2
$|A^{-1}|$
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由逆矩阵行列式性质，$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=\dfrac{1}{4}$。
3
$|-|A|B|$
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$B$为$4$阶方阵，标量$-|A|=-4$乘$B$后取行列式，
$$|-|A|B|=(-|A|)^4|B|=4^4\cdot2=512.$$
$$|-|A|B|=(-|A|)^4|B|=4^4\cdot2=512.$$
4
$|A^{-1}B|$
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利用乘积行列式性质，
$$|A^{-1}B|=|A^{-1}||B|=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}.$$
$$|A^{-1}B|=|A^{-1}||B|=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}.$$
5
$|(2A)^{-1}-3A^*|$
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先化简矩阵表达式：$(2A)^{-1}=\dfrac{1}{2}A^{-1}$，$3A^*=3|A|A^{-1}=12A^{-1}$。
$$\therefore(2A)^{-1}-3A^*=\left(\frac{1}{2}-12\right)A^{-1}=-\frac{23}{2}A^{-1}.$$
再取行列式（$A^{-1}$为$3$阶）：
$$\left|-\frac{23}{2}A^{-1}\right|=\left(-\frac{23}{2}\right)^3|A^{-1}|=-\frac{23^3}{8}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{12167}{32}.$$
$$\therefore(2A)^{-1}-3A^*=\left(\frac{1}{2}-12\right)A^{-1}=-\frac{23}{2}A^{-1}.$$
再取行列式（$A^{-1}$为$3$阶）：
$$\left|-\frac{23}{2}A^{-1}\right|=\left(-\frac{23}{2}\right)^3|A^{-1}|=-\frac{23^3}{8}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{12167}{32}.$$
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