第7题
设3阶矩阵$A$的各行元素的和为2，$AX=0$有两个解$\alpha_1=(-6,5,0)^T, \alpha_2=(0,3,-7)^T$。计算：(1) $A$的特征值和对应的特征向量；(2) 矩阵$B$与矩阵$A$相似，计算秩$R(2019B+2020E)$。
答案
(1) 特征值为$2,0,0$。对应$\lambda=2$的特征向量为$k_0(1,1,1)^T$ ($k_0\neq0$)；对应$\lambda=0$的特征向量为$k_1(-6,5,0)^T+k_2(0,3,-7)^T$ ($k_1,k_2$不全为0)。(2) $R(2019B+2020E)=3$。
📖 前置知识梳理
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本题核心思路：利用特征值的定义从已知条件中提取 $A$ 的特征值和特征向量。$A\alpha = 2\alpha$ 直接给出特征值 $2$；$AX = 0$ 的非零解给出特征值 $0$。相似矩阵特征值相同是关键性质。矩阵多项式的特征值满足 $f(\lambda)$ 法则：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda)$ 是 $f
(A)$ 的特征值。当矩阵所有特征值均非零时，矩阵满秩。易错点：$AX = 0$ 的解向量就是特征值 $0$ 对应的特征向量，这一点需要熟练掌握。
(A)$ 的特征值。当矩阵所有特征值均非零时，矩阵满秩。易错点：$AX = 0$ 的解向量就是特征值 $0$ 对应的特征向量，这一点需要熟练掌握。
📋 解题步骤
1
求$\lambda=2$及其特征向量
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因$A$各行元素之和为2，故
$$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.$$
因此$\lambda_0=2$是一个特征值，对应特征向量为$k_0(1,1,1)^T$ ($k_0\neq0$)。
$$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.$$
因此$\lambda_0=2$是一个特征值，对应特征向量为$k_0(1,1,1)^T$ ($k_0\neq0$)。
2
求$\lambda=0$及其特征向量
▼
由$A\alpha_1=0=0\cdot\alpha_1$, $A\alpha_2=0=0\cdot\alpha_2$，可知$\lambda_1=\lambda_2=0$是二重特征值。
因$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，对应特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$ ($k_1,k_2\in\mathbb{R}$且不同时为0)。
因$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，对应特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$ ($k_1,k_2\in\mathbb{R}$且不同时为0)。
3
计算$R(2019B+2020E)$
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$B$与$A$相似，故$B$的特征值为$2,0,0$。
$2019B+2020E$的特征值为$2019\lambda+2020$，即$6058,2020,2020$。
因三个特征值均不为0，故$|2019B+2020E|\neq0$，矩阵满秩。
$$\therefore R(2019B+2020E)=3.$$
$2019B+2020E$的特征值为$2019\lambda+2020$，即$6058,2020,2020$。
因三个特征值均不为0，故$|2019B+2020E|\neq0$，矩阵满秩。
$$\therefore R(2019B+2020E)=3.$$
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