第7题
已知$3$维列向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，且
$$|\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3-\alpha_2,\alpha_3+2\alpha_1|=2011,$$
求$|\pi\alpha_1+e\alpha_3,e\alpha_2,\alpha_1-2011\alpha_2|$。
$$|\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3-\alpha_2,\alpha_3+2\alpha_1|=2011,$$
求$|\pi\alpha_1+e\alpha_3,e\alpha_2,\alpha_1-2011\alpha_2|$。
答案
$-2011e^2$
📖 前置知识梳理
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知识点：1. 行列式性质；2. 表示矩阵。表示矩阵的概念：若$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\;\alpha_1-\alpha_2)$，则$B=A\cdot K$，其中$K$称为表示矩阵。本题提供了两种解法：方法一利用行列式的线性性质（拆列、提取公因子、列变换不改变行列式值等）逐步化简；方法二利用表示矩阵，将向量组的线性组合表示为原向量组乘以表示矩阵，再利用$|AK|=|A|\cdot|K|$的性质求解。方法二更为系统和通用，尤其适用于复杂的线性组合行列式计算。老师用黄色高亮标注了表示矩阵的关键元素。
📋 解题步骤
1
方法一：列变换法
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对已知行列式进行列变换，逐步化简得$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2011$。
2
求待求行列式
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对$|\pi\alpha_1+e\alpha_3,e\alpha_2,\alpha_1-2011\alpha_2|$进行列变换：提取第2列的$e$，消去第3列的$\alpha_2$项，再消去第1列的$\pi\alpha_1$项，最终
$$\text{原式}=-e^2|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=-2011e^2.$$
$$\text{原式}=-e^2|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=-2011e^2.$$
3
方法二：矩阵法
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将$(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3-\alpha_2,\alpha_3+2\alpha_1)$表为$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)P$，
$$P=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad|P|=1.$$
故$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2011$。待求行列式的变换矩阵行列式为$-e^2$，故结果为$-2011e^2$。
$$P=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad|P|=1.$$
故$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2011$。待求行列式的变换矩阵行列式为$-e^2$，故结果为$-2011e^2$。
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