第7题
已知$3$维列向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，且
$$|\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3-\alpha_2,\alpha_3+2\alpha_1|=2011,$$
求$|\pi\alpha_1+e\alpha_3,e\alpha_2,\alpha_1-2011\alpha_2|$。
答案
$-2011e^2$
📋 解题步骤
1
方法一：列变换法
▼
对已知行列式进行列变换，逐步化简得$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2011$。
2
求待求行列式
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对$|\pi\alpha_1+e\alpha_3,e\alpha_2,\alpha_1-2011\alpha_2|$进行列变换：提取第2列的$e$，消去第3列的$\alpha_2$项，再消去第1列的$\pi\alpha_1$项，最终
$$\text{原式}=-e^2|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=-2011e^2.$$
3
方法二：矩阵法
▼
将$(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3-\alpha_2,\alpha_3+2\alpha_1)$表为$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)P$，
$$P=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad|P|=1.$$
故$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2011$。待求行列式的变换矩阵行列式为$-e^2$，故结果为$-2011e^2$。
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