第8题
设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=bx_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2ax_1x_3\ (a>0)$，其中二次型对称阵$A$的特征值之和为1，$A$的特征值之积为$-12$。(1) 写出二次型对称阵$A$；(2) 求出$a,b$的值；(3) 求一个正交变换$X=PY$，将二次型化成标准形，并写出标准形。
答案
(1) $A=\begin{pmatrix}b&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{pmatrix}$; (2) $a=2, b=1$；(3) 正交变换$X=PY$，标准形$f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2$。
📋 解题步骤
1
写出矩阵$A$
▼
$f$的对称矩阵为
$$A=\begin{pmatrix}b&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{pmatrix}.$$
2
求$a,b$
▼
由$\operatorname{tr}(A)=1$得$b+2-2=1$，故$b=1$。
又$|A|=-12$，即
$$\begin{vmatrix}1&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{vmatrix}=2(-2-a^2)=-12,$$
得$a^2=4$。因$a>0$，故$a=2$。
3
求特征值
▼
$$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}1-\lambda&0&2\\0&2-\lambda&0\\2&0&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)\bigl[(1-\lambda)(-2-\lambda)-4\bigr]$$
$$=(2-\lambda)(\lambda^2+\lambda-6)=-(\lambda-2)^2(\lambda+3)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=-3$。
4
求特征向量并单位化
▼
对$\lambda=2$：$A-2E\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，得$\xi_1=(0,1,0)^T, \xi_2=(2,0,1)^T$（已正交）。
对$\lambda=-3$：$A+3E\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，得$\xi_3=(1,0,-2)^T$。
单位化：
$$p_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\0\\\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\0\\-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.$$
5
正交变换与标准形
▼
令$P=(p_1,p_2,p_3)$，取$X=PY$，则正交变换将二次型化为标准形
$$f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$$
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