第8题
设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=bx_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2ax_1x_3\ (a>0)$，其中二次型对称阵$A$的特征值之和为1，$A$的特征值之积为$-12$。(1) 写出二次型对称阵$A$；(2) 求出$a,b$的值；(3) 求一个正交变换$X=PY$，将二次型化成标准形，并写出标准形。
答案
(1) $A=\begin{pmatrix}b&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{pmatrix}$; (2) $a=2, b=1$；(3) 正交变换$X=PY$，标准形$f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2$。
📖 前置知识梳理
▼
本题是二次型化标准形的典型题目。关键步骤：(1) 利用特征值之和 = 迹，行列式 = 特征值之积来确定参数；(2) 求特征值时，对于有特殊结构的矩阵（如中间一行/列只有一个非零元素），可以按该行/列展开简化计算；(3) 实对称矩阵不同特征值的特征向量天然正交，同一特征值的特征向量需要检验是否正交，若不正交需用施密特正交化；(4) 正交变换化标准形的标准流程：求特征值 → 求特征向量 → 正交化 → 单位化 → 构造正交矩阵 $P$ → 写出标准形。易错点：注意 $\xi_1 = (0,1,0)^T$ 与 $\xi_2 = (2,0,1)^T$ 已经正交，无需施密特正交化。
📋 解题步骤
1
写出矩阵$A$
▼
$f$的对称矩阵为
$$A=\begin{pmatrix}b&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{pmatrix}.$$
$$A=\begin{pmatrix}b&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{pmatrix}.$$
2
求$a,b$
▼
由$\operatorname{tr}(A)=1$得$b+2-2=1$，故$b=1$。
又$|A|=-12$，即
$$\begin{vmatrix}1&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{vmatrix}=2(-2-a^2)=-12,$$
得$a^2=4$。因$a>0$，故$a=2$。
又$|A|=-12$，即
$$\begin{vmatrix}1&0&a\\0&2&0\\a&0&-2\end{vmatrix}=2(-2-a^2)=-12,$$
得$a^2=4$。因$a>0$，故$a=2$。
3
求特征值
▼
$$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}1-\lambda&0&2\\0&2-\lambda&0\\2&0&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)\bigl[(1-\lambda)(-2-\lambda)-4\bigr]$$
$$=(2-\lambda)(\lambda^2+\lambda-6)=-(\lambda-2)^2(\lambda+3)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=-3$。
$$=(2-\lambda)(\lambda^2+\lambda-6)=-(\lambda-2)^2(\lambda+3)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=-3$。
4
求特征向量并单位化
▼
对$\lambda=2$：$A-2E\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，得$\xi_1=(0,1,0)^T, \xi_2=(2,0,1)^T$（已正交）。
对$\lambda=-3$：$A+3E\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，得$\xi_3=(1,0,-2)^T$。
单位化：
$$p_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\0\\\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\0\\-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.$$
对$\lambda=-3$：$A+3E\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，得$\xi_3=(1,0,-2)^T$。
单位化：
$$p_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\0\\\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\0\\-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.$$
5
正交变换与标准形
▼
令$P=(p_1,p_2,p_3)$，取$X=PY$，则正交变换将二次型化为标准形
$$f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$$
$$f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$$
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...