第8题
已知$n$阶方阵$A$满足$3A^2+9A=(E+2A)^2$，证明矩阵$A,A+E$可逆并求逆矩阵。
答案
$A^{-1}=5E-A$; $(A+E)^{-1}=\dfrac{6E-A}{7}$
📋 解题步骤
1
展开并化简
▼
展开右边：$(E+2A)^2=E+4A+4A^2$。
代入整理得
$$A^2-5A+E=0.$$
2
求$A^{-1}$
▼
由$A^2-5A+E=0$得$A(A-5E)=-E$，即
$$A(5E-A)=E.$$
故$A$可逆，且$A^{-1}=5E-A$。
3
求$(A+E)^{-1}$
▼
将$A^2-5A+E=0$拆项：
$$A^2+A-6A-6E+7E=0,$$
即$A(A+E)-6(A+E)=-7E$。
因式分解得$(A-6E)(A+E)=-7E$，也即
$$\frac{6E-A}{7}(A+E)=E.$$
故$A+E$可逆，且$(A+E)^{-1}=\dfrac{6E-A}{7}$。
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📸 点击此处焦点后，直接粘贴截图（Ctrl+V / Cmd+V）