第8题
已知$n$阶方阵$A$满足$3A^2+9A=(E+2A)^2$，证明矩阵$A,A+E$可逆并求逆矩阵。
答案
$A^{-1}=5E-A$; $(A+E)^{-1}=\dfrac{6E-A}{7}$
📖 前置知识梳理
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知识点：证明矩阵可逆。核心方法：对$n$阶矩阵$A$，若存在矩阵$B$使得$AB=E$，则$A$可逆，且$A^{-1}=B$。本题的关键技巧是通过矩阵多项式等式进行因式分解，凑出$A$乘以某个矩阵等于单位矩阵$E$（或$kE$）的形式。第一问直接从$A^2-5A+E=0$凑出$A(5E-A)=E$；第二问需要更巧妙的配凑，将$A^2-5A+E=0$改写为$A^2+A-6A-6E+7E=0$，然后分组因式分解得到$(A-6E)(A+E)=-7E$。
📋 解题步骤
1
展开并化简
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展开右边：$(E+2A)^2=E+4A+4A^2$。
代入整理得
$$A^2-5A+E=0.$$
代入整理得
$$A^2-5A+E=0.$$
2
求$A^{-1}$
▼
由$A^2-5A+E=0$得$A(A-5E)=-E$，即
$$A(5E-A)=E.$$
故$A$可逆，且$A^{-1}=5E-A$。
$$A(5E-A)=E.$$
故$A$可逆，且$A^{-1}=5E-A$。
3
求$(A+E)^{-1}$
▼
将$A^2-5A+E=0$拆项：
$$A^2+A-6A-6E+7E=0,$$
即$A(A+E)-6(A+E)=-7E$。
因式分解得$(A-6E)(A+E)=-7E$，也即
$$\frac{6E-A}{7}(A+E)=E.$$
故$A+E$可逆，且$(A+E)^{-1}=\dfrac{6E-A}{7}$。
$$A^2+A-6A-6E+7E=0,$$
即$A(A+E)-6(A+E)=-7E$。
因式分解得$(A-6E)(A+E)=-7E$，也即
$$\frac{6E-A}{7}(A+E)=E.$$
故$A+E$可逆，且$(A+E)^{-1}=\dfrac{6E-A}{7}$。
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