第9题
已知二次型$f=X^TAX$的平方项系数为0，且$\alpha=(1,2,-1)^T$满足$A\alpha=2\alpha$。(1) 求$f$的表达式；(2) 求$f$的标准形。
答案
(1) $f=4x_1x_2+4x_1x_3-4x_2x_3$；(2) 标准形$f=2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2$。
📖 前置知识梳理
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本题考查二次型化标准形的完整流程。关键技巧：(1) 由 $A\alpha = 2\alpha$ 建立方程组求参数，注意二次型矩阵必须是对称矩阵；(2) 求特征多项式时，观察到各行元素之和的规律，可通过 $r_1 + r_2$ 提取公因子 $(2 - \lambda)$，大大简化计算；(3) 对于二重特征值 $\lambda = 2$，求出的两个特征向量 $\xi_1 = (1,1,0)^T$ 和 $\xi_2 = (1,0,1)^T$ 并不正交（内积为 $1$），必须进行施密特正交化，这是本题易错点；(4) 实对称矩阵不同特征值的特征向量天然正交，$\xi_3$ 与 $\xi_1, \xi_2$ 都正交，只需单位化。
📋 解题步骤
1
确定矩阵$A$
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平方项系数为0，故$A$对角元素均为0，设
$$A=\begin{pmatrix}0&a&b\\a&0&c\\b&c&0\end{pmatrix}.$$
$$A=\begin{pmatrix}0&a&b\\a&0&c\\b&c&0\end{pmatrix}.$$
2
利用$A\alpha=2\alpha$求$a,b,c$
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代入$A\alpha=2\alpha$得
$$\begin{cases}2a-b=2\\a-c=4\\b+2c=-2\end{cases}$$
解得$a=2, b=2, c=-2$。
故
$$A=\begin{pmatrix}0&2&2\\2&0&-2\\2&-2&0\end{pmatrix},\quad f=4x_1x_2+4x_1x_3-4x_2x_3.$$
$$\begin{cases}2a-b=2\\a-c=4\\b+2c=-2\end{cases}$$
解得$a=2, b=2, c=-2$。
故
$$A=\begin{pmatrix}0&2&2\\2&0&-2\\2&-2&0\end{pmatrix},\quad f=4x_1x_2+4x_1x_3-4x_2x_3.$$
3
求特征值
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$$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}-\lambda&2&2\\2&-\lambda&-2\\2&-2&-\lambda\end{vmatrix}\xrightarrow{r_1+r_2}(2-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&0\\2&-\lambda&-2\\2&-2&-\lambda\end{vmatrix}$$
$$=(2-\lambda)(\lambda+4)(\lambda-2)=-(\lambda-2)^2(\lambda+4)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=-4$。
$$=(2-\lambda)(\lambda+4)(\lambda-2)=-(\lambda-2)^2(\lambda+4)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=-4$。
4
求特征向量并正交单位化
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对$\lambda=2$：$\xi_1=(1,1,0)^T, \xi_2=(1,0,1)^T$。
Schmidt正交化：$\eta_1=(1,1,0)^T, \eta_2=(1,-1,2)^T$。
对$\lambda=-4$：$\xi_3=(-1,1,1)^T$。
单位化得
$$p_1=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}.$$
Schmidt正交化：$\eta_1=(1,1,0)^T, \eta_2=(1,-1,2)^T$。
对$\lambda=-4$：$\xi_3=(-1,1,1)^T$。
单位化得
$$p_1=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}.$$
5
标准形
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令$P=(p_1,p_2,p_3)$，取$X=PY$，标准形为
$$f=2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2.$$
$$f=2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2.$$
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