平方项系数为0，故$A$对角元素均为0，设 $$A=\begin{pmatrix}0&a&b\\a&0&c\\b&c&0\end{pmatrix}.$$

代入$A\alpha=2\alpha$得 $$\begin{cases}2a-b=2\\a-c=4\\b+2c=-2\end{cases}$$ 解得$a=2, b=2, c=-2$。 故 $$A=\begin{pmatrix}0&2&2\\2&0&-2\\2&-2&0\end{pmatrix},\quad f=4x_1x_2+4x_1x_3-4x_2x_3.$$

$$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}-\lambda&2&2\\2&-\lambda&-2\\2&-2&-\lambda\end{vmatrix}\xrightarrow{r_1+r_2}(2-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&0\\2&-\lambda&-2\\2&-2&-\lambda\end{vmatrix}$$ $$=(2-\lambda)(\lambda+4)(\lambda-2)=-(\lambda-2)^2(\lambda+4)=0,$$ 得$\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=-4$。

对$\lambda=2$：$\xi_1=(1,1,0)^T, \xi_2=(1,0,1)^T$。 Schmidt正交化：$\eta_1=(1,1,0)^T, \eta_2=(1,-1,2)^T$。 对$\lambda=-4$：$\xi_3=(-1,1,1)^T$。 单位化得 $$p_1=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}.$$

令$P=(p_1,p_2,p_3)$，取$X=PY$，标准形为 $$f=2y_1^2+2y_2^2-4y_3^2.$$