第9题
设
$$A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0&0\\0&\dfrac{1}{3}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix},$$
$AXA^{-1}=6XA^{-1}+2E$，求$X$及$A^*$。
$$A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0&0\\0&\dfrac{1}{3}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix},$$
$AXA^{-1}=6XA^{-1}+2E$，求$X$及$A^*$。
答案
$X=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{2}{17}&0\\0&0&-\dfrac{2}{35}\end{pmatrix}$; $A^*=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{18}&0&0\\0&\dfrac{1}{12}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
📖 前置知识梳理
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知识点：解矩阵方程。对于矩阵方程$AX=B$：①若$A$可逆，则$X=A^{-1}B$；②也可用初等行变换：$(A|B)\xrightarrow{\text{行}}(E|X=A^{-1}B)$（黄色高亮标注）。本题是更复杂的矩阵方程$AXA^{-1}=6XA^{-1}+2E$，需要先通过移项、提取公因子化简为$(A-6E)XA^{-1}=2E$，再逐步解出$X$。由于$A$是对角矩阵，$A-6E$也是对角矩阵，其逆矩阵非常容易求（对角线元素取倒数）。老师还提到可以用伴随矩阵公式$A^*=|A|A^{-1}$来辅助计算。
📋 解题步骤
1
整理矩阵方程
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将$AXA^{-1}=6XA^{-1}+2E$移项得
$$(A-6E)XA^{-1}=2E.$$
两边右乘$A$得$(A-6E)X=2A$，故
$$X=2(A-6E)^{-1}A.$$
$$(A-6E)XA^{-1}=2E.$$
两边右乘$A$得$(A-6E)X=2A$，故
$$X=2(A-6E)^{-1}A.$$
2
计算$(A-6E)^{-1}$
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$A-6E=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2}&0&0\\0&-\dfrac{17}{3}&0\\0&0&-\dfrac{35}{6}\end{pmatrix}$，
$$\therefore(A-6E)^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{3}{17}&0\\0&0&-\dfrac{6}{35}\end{pmatrix}.$$
$$\therefore(A-6E)^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{3}{17}&0\\0&0&-\dfrac{6}{35}\end{pmatrix}.$$
3
求$X$
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$$X=2\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{3}{17}&0\\0&0&-\dfrac{6}{35}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0&0\\0&\dfrac{1}{3}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{2}{17}&0\\0&0&-\dfrac{2}{35}\end{pmatrix}.$$
4
求$A^*$
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由$A^*=|A|A^{-1}$，
$$|A|=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36},\quad A^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}.$$
$$\therefore A^*=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{18}&0&0\\0&\dfrac{1}{12}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.$$
$$|A|=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36},\quad A^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}.$$
$$\therefore A^*=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{18}&0&0\\0&\dfrac{1}{12}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.$$
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