第9题
设
$$A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0&0\\0&\dfrac{1}{3}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix},$$
$AXA^{-1}=6XA^{-1}+2E$，求$X$及$A^*$。
答案
$X=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{2}{17}&0\\0&0&-\dfrac{2}{35}\end{pmatrix}$; $A^*=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{18}&0&0\\0&\dfrac{1}{12}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
📋 解题步骤
1
整理矩阵方程
▼
将$AXA^{-1}=6XA^{-1}+2E$移项得
$$(A-6E)XA^{-1}=2E.$$
两边右乘$A$得$(A-6E)X=2A$，故
$$X=2(A-6E)^{-1}A.$$
2
计算$(A-6E)^{-1}$
▼
$A-6E=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2}&0&0\\0&-\dfrac{17}{3}&0\\0&0&-\dfrac{35}{6}\end{pmatrix}$，
$$\therefore(A-6E)^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{3}{17}&0\\0&0&-\dfrac{6}{35}\end{pmatrix}.$$
3
求$X$
▼
$$X=2\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{3}{17}&0\\0&0&-\dfrac{6}{35}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0&0\\0&\dfrac{1}{3}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{11}&0&0\\0&-\dfrac{2}{17}&0\\0&0&-\dfrac{2}{35}\end{pmatrix}.$$
4
求$A^*$
▼
由$A^*=|A|A^{-1}$，
$$|A|=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36},\quad A^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}.$$
$$\therefore A^*=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{18}&0&0\\0&\dfrac{1}{12}&0\\0&0&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.$$
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