第10题
设三阶对称矩阵$A$有一个特征值3，且$\alpha=(a,-a,1)^T$为$Ax=0$的解，$\beta=(a,1,-a)^T$为$(A+E)x=0$的解。(1) 计算$a$；(2) 计算矩阵$A$的特征值和特征向量。
答案
(1) $a=0$或$a=2$；(2) 特征值为$0,-1,3$，对应特征向量见解析。
📖 前置知识梳理
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本题核心是利用实对称矩阵的重要性质：(1) 不同特征值的特征向量线性无关（对一般矩阵成立）；(2) 不同特征值的特征向量正交（实对称矩阵特有性质）。由 $AX = 0$ 和 $(A +
E)X = 0$ 的解分别得到特征值 $0$ 和 $-1$。利用正交性 $\alpha^T \beta = 0$ 求参数 $a$ 是解题关键。迹等于特征值之和用于确定第三个特征值。求第三个特征向量时，利用它必须同时与已知两个特征向量正交，建立齐次方程组求解。易错点：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交这一性质是求参数的核心，必须熟练掌握；$a$ 有两个取值 $0$ 和 $2$，需要分别讨论。
E)X = 0$ 的解分别得到特征值 $0$ 和 $-1$。利用正交性 $\alpha^T \beta = 0$ 求参数 $a$ 是解题关键。迹等于特征值之和用于确定第三个特征值。求第三个特征向量时，利用它必须同时与已知两个特征向量正交，建立齐次方程组求解。易错点：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交这一性质是求参数的核心，必须熟练掌握；$a$ 有两个取值 $0$ 和 $2$，需要分别讨论。
📋 解题步骤
1
确定已知特征值
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由$A\alpha=0=0\cdot\alpha$，得$\lambda_1=0$，对应特征向量$\alpha$。
由$(A+E)\beta=0\Rightarrow A\beta=-\beta$，得$\lambda_2=-1$，对应特征向量$\beta$。
由$(A+E)\beta=0\Rightarrow A\beta=-\beta$，得$\lambda_2=-1$，对应特征向量$\beta$。
2
利用正交性求$a$
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$A$为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，故$\alpha^T\beta=0$，即
$$a^2-a-a=a^2-2a=0,$$
解得$a=0$或$a=2$。
$$a^2-a-a=a^2-2a=0,$$
解得$a=0$或$a=2$。
3
确定第三个特征值并求特征向量
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已知$\lambda_3=3$。设$\gamma=(x_1,x_2,x_3)^T$为属于$\lambda_3$的特征向量，则$\alpha^T\gamma=0, \beta^T\gamma=0$。
4
$a=0$时
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$\alpha=(0,0,1)^T, \beta=(0,1,0)^T$。方程组给出$x_3=0, x_2=0$，取$\gamma=(1,0,0)^T$。
5
$a=2$时
▼
$\alpha=(2,-2,1)^T, \beta=(2,1,-2)^T$。方程组：
$$\begin{cases}2x_1-2x_2+x_3=0\\2x_1+x_2-2x_3=0\end{cases}$$
解得$\gamma=(1,2,2)^T$。
$$\begin{cases}2x_1-2x_2+x_3=0\\2x_1+x_2-2x_3=0\end{cases}$$
解得$\gamma=(1,2,2)^T$。
6
总结
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$A$的特征值为$0,-1,3$。
当$a=0$时，对应特征向量分别为$(0,0,1)^T,(0,1,0)^T,(1,0,0)^T$；
当$a=2$时，对应特征向量分别为$(2,-2,1)^T,(2,1,-2)^T,(1,2,2)^T$。
当$a=0$时，对应特征向量分别为$(0,0,1)^T,(0,1,0)^T,(1,0,0)^T$；
当$a=2$时，对应特征向量分别为$(2,-2,1)^T,(2,1,-2)^T,(1,2,2)^T$。
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