第10题
设三阶对称矩阵$A$有一个特征值3，且$\alpha=(a,-a,1)^T$为$Ax=0$的解，$\beta=(a,1,-a)^T$为$(A+E)x=0$的解。(1) 计算$a$；(2) 计算矩阵$A$的特征值和特征向量。
答案
(1) $a=0$或$a=2$；(2) 特征值为$0,-1,3$，对应特征向量见解析。
📋 解题步骤
1
确定已知特征值
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由$A\alpha=0=0\cdot\alpha$，得$\lambda_1=0$，对应特征向量$\alpha$。
由$(A+E)\beta=0\Rightarrow A\beta=-\beta$，得$\lambda_2=-1$，对应特征向量$\beta$。
2
利用正交性求$a$
▼
$A$为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，故$\alpha^T\beta=0$，即
$$a^2-a-a=a^2-2a=0,$$
解得$a=0$或$a=2$。
3
确定第三个特征值并求特征向量
▼
已知$\lambda_3=3$。设$\gamma=(x_1,x_2,x_3)^T$为属于$\lambda_3$的特征向量，则$\alpha^T\gamma=0, \beta^T\gamma=0$。
4
$a=0$时
▼
$\alpha=(0,0,1)^T, \beta=(0,1,0)^T$。方程组给出$x_3=0, x_2=0$，取$\gamma=(1,0,0)^T$。
5
$a=2$时
▼
$\alpha=(2,-2,1)^T, \beta=(2,1,-2)^T$。方程组：
$$\begin{cases}2x_1-2x_2+x_3=0\\2x_1+x_2-2x_3=0\end{cases}$$
解得$\gamma=(1,2,2)^T$。
6
总结
▼
$A$的特征值为$0,-1,3$。
当$a=0$时，对应特征向量分别为$(0,0,1)^T,(0,1,0)^T,(1,0,0)^T$；
当$a=2$时，对应特征向量分别为$(2,-2,1)^T,(2,1,-2)^T,(1,2,2)^T$。
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